最长回文子串(Manacher算法)

回文字符串,想必大家不会不熟悉吧?

回文串会求的吧?暴力一遍O(n^2)很简单,但当字符长度很长时便会TLE,简单,hash+二分搞定,其复杂度约为O(nlogn), 而Manacher算法能够在线性的时间内处理出最长回文子串。

让我们来看道题:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3068

 《最长回文子串(Manacher算法)》

这个算法的巧妙之处,便是把奇数的回文串和偶数的回文串统一起来考虑了。这一点一直是在做回文串问题中时比较烦的地方。这个算法还有一个很好的地方就是充分利用了字符匹配的特殊性,避免了大量不必要的重复匹配。那怎么去实现呢?

我们要求字符串s中最长的回文子串

Manacher重新构造了一个新数组,在每两个字符中间插入一个’#’,如下图:

《最长回文子串(Manacher算法)》

我们很容易发现,如果出现这种情况(如下图)在处理第三个字符(’#’)市,会发现扫到左侧时候可能会出现越界

《最长回文子串(Manacher算法)》

为了避免索引数超出数组边界值做字符比较,可以在处理过的字符串的第一个位置(索引为0的位置)加入一个区分字符,笔者喜欢用’@’。

《最长回文子串(Manacher算法)》

上图便是处理过的样子。(编号表示数组位数,3表示是s[3]的字符)

我们现在用p[i]数组表示以字符s[i]为中心的回文半径(如p[3] = 1)。

我们很容易发现最长子序列的长度刚好是(p[i] – 1)。

那么我们怎么来求p[i]数组呢?

步骤如下:

当处理到[i]的时候,我们去找0-i中是否存在一个数(设为id)使得p[id] + id > i,设mx = p[id] + id。

《最长回文子串(Manacher算法)》

如上图,由于红的字符串是回文字符串,所以关于j对称的回文子串和关于i对称的回文子串是完全一样的(图中两段绿色的线条),而满足mx-i>P[j]时说明此时j的回文子串半径小于j到mx关于j对称的左端点的差,此时可以初始化P[i]=P[j]。但如果绿色部分超出id的回文串呢?

如下图:

《最长回文子串(Manacher算法)》

紫色表示以j为中心的回文串超出以id为中心的回文半径的部分(即图中红色部分)由于红的字符串是回文字符串,所以关于j对称的回文子串和关于i对称的在mx和mx的对称点之间的回文子串是完全一样的(图中两段绿色的线条),而满足mx-i<=P[j]时说明此时j的回文子串半径大于或等于j到mx关于j对称的左端点的差,此时可以初始化P[i]=mx-i,超出部分只能一个个判断。再对P[i]的回文子串半径进行进一步的增大。(以上两图均取自参考论文)

综上所述初始化p[i] = min(p[j], mx – i);

对于超出回文字符串部分(即红色部分,我们只能一个一个的去判断)

即while(s[i + p[i]] == s[i – p[i]])p[i] += 1;

当mx <= i 的时候我们只能将p[i] 初始化为1(对于它都是未知的,只能通过一位一位去比较)。

附上总代码:

《最长回文子串(Manacher算法)》
《最长回文子串(Manacher算法)》

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const int N = 220000 + 5;
 6 
 7 char s[N];
 8 
 9 int p[N];
10 
11 int n, id, mx;
12 
13 void work(){
14     id = mx = 0;
15     int ans = 0;
16     n = strlen(s);
17     for(int i = n; i >= 0; i --){
18         s[2 * i + 2] = s[i];
19         s[2 * i + 1] = '#';
20     }
21     s[0] = '@';
22     p[0] = 1;
23     for(int i = 1; i < 2 * n + 2; i ++){
24         if(mx > i)p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);
25         else p[i] = 1;
26         while(s[i + p[i]] == s[i - p[i]]) p[i] += 1;
27         if(mx < p[i] + i){
28             id = i;
29             mx = p[i] + i;
30         }
31         ans = max(ans, p[i] - 1);
32     }
33     printf("%d\n", ans);
34 }
35 
36 int main(){
37     while(scanf("%s", s) == 1)work();
38     return 0;
39 }

View Code

 

参考资料:http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/9251455

    原文作者:殇雪
    原文地址: https://www.cnblogs.com/zyf0163/p/4780174.html
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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