顶点v到w可达就是指从v到w至少有一条路径。那么在有向图中要判断v到w是否可达，我们只需要以v为起点遍历一遍图，看能否遍历到w即可。当然在遍历时可以自己适当的加一些限制条件，提高算法效率，如：不需要遍历完所有顶点，只要遍历到w就可以结束遍历。所以时间为<=O(N²);

     推广1：判断顶点v到其他所有顶点的可达性，以顶点v为起点，遍历整个图，能被遍历到的顶点就是从v可达的，否则就是不可达,时间为o(n²) 。对于无向图，如果完成整个遍历后还有顶点没有被访问，那么这个图就是不连通。

    推广2：判断任意两点之间是否可达，当然我们可以以每个顶点为起点，然后按推广2的方法去多次遍历图，这样的时间复杂度为o(n³),而且在遍历的过程中可以适当的改进（可以自己实现）。

在此我们学习一种完全不同的方法—-Warshall算法，来实现这个任务：（有关Warshall算法的描述部分转载：http://www.cnblogs.com/brokencode/archive/2011/07/01/2095158.html）

Warshall算法通过动态规划的形式，以多阶段决策的方式来逐步构建一个有向图的传递闭包：

 1）有向图的邻接矩阵表示了一个有向图，实际上有向图的邻接矩阵我们可以看作是没有经过任何中间顶点（即一个点仅到它的邻接点为可达）的图的传递闭包（传递闭包的初始条件）

2）我们可以通过一次加入一个点的方式（一共n次，加入n个点，n步决策）来构造最终的传递闭包：

—-用R0表示邻接矩阵，以后每次加入一个顶点来构造R1，R2…….Rn。

—如果 r（i , j） 在Rk-1中为1，那么加入顶点k作为中间节点后，r(i , j) 在Rk中的值仍为1（如果可达了，加入点之后肯定还是可达）

–如果r(i , j)在Rk-1中不为1，仅当 r(i , k) = 1 且 r(k , j) = 1，r(i , j)在Rk中才为1（如果现在不可达，仅当加入的一个中间节点可以作为一个桥梁使之可达，才可达）

即下面2条规则：

如果不想分2种情况，用与或式可以直接写成下式：

括号在”或“后面。伪代码见下面：

Warshall算法的实现：

void Warshall(int G[][Max])

{

for(int k=0;k<Max;k++){

       for(inti=0;i<Max;i++){

            for(intj=0;j<Max;j++)

                  G[i][j]=G[i][j]||(G[i][k]&&G[k][j]);

       }

}

}

Warshall算法分析：

由上面的介绍我们可以得知：G^k[i][j]=G^k-1[i][j]||(G^k-1 [i][k]&&G ^k-1 [k][j]),然而我们在算法实现时仅仅为：G[i][j]=G[i][j]||(G [i][k]&&G [k][j])这样对吗？答案是肯定的，现在我们来分析下why？

对最外层的K循环，在每次确定k后，循环i和j，G[i][k]位于A段或c段，同理G[j][k]位于B段或d段 （如下图）

     对于每一对i，j将G中元素分为两部分了：一部分已经是G^k中元素了，即已经完成了赋值，而另一部分还是G^k-1这部分元素还没来的急赋值(如上图)。

     那么对于G^k[i][j]=G^k-1[i][j]||(G^k-1 [i][k]&&G ^k-1 [k][j])，左边的G^k[i][j]是赋值后的位置i，j的值，就是G[i][j]赋值后；左边的G^k-1[i][j]是赋值前的位置i，j的值就是G[i][j]。

     现在我们来考虑G ^k-1 [i][k]，如果G ^k-1 [i][k]位于图中的c断，那么G [i][k]还没有赋新值，那么G[i][k]就是G ^k-1 [i][k]了。而如果G ^k-1 [i][k]位于A段，此时的G[i][k]已经完成赋值，已经是G ^k [i][k]了。但我们继续分析：

G ^k [i][k]=G^k-1[i][k]||( G^k-1[i][k]&&G^k-1[k][k]),所以G ^k [i][k]= G ^k-1 [i][k]，所以说的G[i][k]== G ^k [i][k]==G ^k-1[i][k]。

     同理对于G ^k-1 [k][j]，如果G ^k-1 [k][j]位于图中B断，那么G [k][j]还没有赋新值那么G[k][j]就是G ^k-1 [k][j]了,如果G ^k-1[k][j]位于图中d断，此时G[k][j] 已经完成赋值，已经是G ^k [k][j]了。但G ^k [k][j]=G^k-1[k][j]||(G^k-1[k][k]&& G^k-1[k][j]),所以G[k][j]== G ^k [k][j]==G ^k-1 [k][j]

所以对于G^k[i][j]=G^k-1[i][j]||(G^k-1 [i][k]&&G ^k-1 [k][j])我们就可以直接在一个矩阵内部操作了，改为G[i][j]=G[i][j]||(G [i][k]&&G [k][j])，这样就少了矩阵间赋值，且省空间。