KMP算法，以为一个简简单单的算法，看了我一天时间竟然没有看懂…果然图样图撕破了，三位大师提出的算法岂是我等屌丝能够迅速的理解的？不过话说看了这次算法才知自己的智力有多么的吃紧，还是要努力学习呀~智力不行就要加把劲了。（接下来字符串匹配算法均参考算法导论）
字符串匹配，算法的模型不用提出大家都知道，仅仅是在文本T字符串中精确匹配模式串P，简简单单，轻轻松松的就知道这么一个模型，自然而然的能够想到一个最笨最实用的算法，朴素算法，朴素算法就是逐个比对，然后在文本串中下移一位在进行逐个比对，算法复杂度O（（n-m+1）m），
不过这种简单的方法的时间复杂度不是我们能够容忍的，提高一点有一个Rabin-Karp的算法，此算法的最坏时间复杂度没有提高，但是平均情况比较好，而且它这个思想可以借鉴，就是把匹配当做算术运算，后来取模比对，针对剩余的少部分精确比对~不过这不是重点，
接下来的就是重量级的算法，KMP算法，它在预处理时间和匹配时间均达到了线性时间~O（m）的预处理时间，O（n）的匹配时间，非常完美的理论，不是么？网上很多资料都是关于next函数的，这里我参考算法导论里面的KMP算法，其思想虽然一致，但是不同于next函数的原理，其原理如下：（匹配过程）
i 1 2 3 4 5 6
a b a b a b a a b a b
a b a b a c b
a b a b a c b
j 1 2 3 4 5 6 7
j 1 2 3 4 5 6
这里比对过程是i和j的变化，如果i和j对应的地方相同，则同时+1，继续走下去，当出现T[i]和P[j]出现不同时，如上图中的P[6]!=T[6]，此时KMP考虑的是i不进行回溯，而是考虑挪动j，使得j变化为一个更小的值，小于j，这样的变化效果是P整体向后移，但是此时不能够导致T[6]前面的i的匹配性质，及挪动后T[6]前面的元素和P对齐之后还是要相同的，所以这里j=5改为j=3，挪动后效果如红色标注的P所示，这是T[6]=P[4]，两个串的表示i和j可以挪动下去；
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
a b a b a b a a b a b
a b a b a c b
a b a b a c b
3
a b a b a c b
1
a b a b a c b
0
j 1 2 3 4 5 6 7
但是接下来挪动的时候又产生了问题，T[8]!=P[6]，这时候如同上面的方式，挪动j=5的位置，首先挪动至最近的保持T[8]前保持性质的部分，其实这里保持性质及P[5]的后缀的最长前缀…说到概念可能就不知道了，还是理解保持性质吧，挪动至红色后发现T[8]!=P[4]，所以这里还要挪动j=3的位置，挪动成j=1，还是不能满足，所以还需要挪动，这时j=0了，及这时候T[8]和P[1]比较了，这里刚好一样，所以i可以继续向后挪动了；
以上的移动均是参考了一个数字，该数字是保证某个位置的时候P和T能够保持性质，但是这个性质仅仅和P有关，及上面说的P的后缀的最长前缀，因为以上匹配过程用到了这个数据，所以接下来就是这个数据的计算的算法了，其实这个算法才是让我纠结的地方，纠结了好久，这里发现一个可以很容易理解的地方，分享给大家；
上面算法的线性时间需要用到均摊分析的知识~可以仔细思考一下，线性的时间，
这里图解一下计算后缀的最长前缀吧，这里这个记为PI[j]，这里PI[j]可以根据PI[1],PI[2]…PI[j-1]计算得出，
如图所示，PI[j-1]为标记的凸包的长度，这里如果P[lengh[PI[j-1]]+1]=P[j]，这里PI[j]及为PI[j-1]长度加1，如果P[lengh[PI[j-1]]+1]!=P[j]，则这个需要在更加前面找，这里及递归的找，画图如下，
及黑色线标注的位置是否与P[j]相同选择是否继续递归，黑色标注的位置的选择为PI[ PI[j-1] ] + 1，PI[j-1]的位置为红色的那段，因为不可能为红色，所以要缩小一下，这里示意为绿色的圈，绿色的圈挪动到前边的红色部位，所以绿色的圈在红色的部位找到前缀为黑色的部分，所以PI[ PI[j-1] ]是这样得出的，这样递归下去就能够得出PI[j]的值了，这样就可以根据计算得出的PI[j]值运用匹配算法了，
不知道上面的解释是否能够解释的清楚，一个递归的过程，分析算法复杂度也是一个均摊分析的方法，同样是线性的，
模式串的预处理的伪代码如下：
COMPUTE-PREFIX-FUNCTION(P)
m=length(P)
PI[1]=0 //初始化
k=0 //初始化
for q=2 to m
while k>0 and P[k+1]!=P[q] //结束条件至0或者相等
k=PI[k] //递归的过程
if P[k+1]=P[q] // 增加的过程
k=k+1
PI[q]=k //赋值为k，下一个计算已k为起点向下递归
return PI
KMP匹配过程执行的伪代码如下：
KMP-MATCH(T,P)
n = length[T]
m = length[P]
PI=COMPUTE-PREFIX-FUNCTION(P)
j=0
for i=1 to n
while j>0 and P[j+1]!=T[i] //如果不等，挪动P，根据计算好的PI
j=PI[j]
if P[j+1]=T[i] //如果相等，则向后继续匹配
j=j+1
if j=m //匹配m个后则成功
printf(匹配成功)
j = PI[j]
以上是伪代码描述，上面说描述的参考算法导论的KMP思想，网上还有一种next方式的，有空研读一下比较差别；
除了上述算法还有一些优秀的字符串匹配算法，基于自动机的，BM算法等等，
如果想要了解一下有限自动机方法可以继续看下去，这种方法可KMP算法可以看做等价，
有限自动机字符串匹配算法简单介绍如下：
给定模式P[1…m]，其对应的字符串匹配自动机定义如下：
1、状态集Q为{0，1，…，m}，初始状态q0为0状态，状态m是唯一的接受状态。
2、对于任意的状态q和字符a，变迁函数δ由如下等式定义：δ（q，a）=σ（Pq a）
这里的解释一下σ（x）的定义，其为相应P的后缀函数。σ（x）为x的后缀 P的最长前缀的长度：σ（x）=max{k：Pk是x的后缀}
简单的举例如下：
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
T[i] a b a b a b a c a b a
状态 1 2 3 4 5 4 5 6 7 2 3
上述是匹配的过程，下面是转移表：
a b c P
0 1 0 0 a
1 1 2 0 b
2 3 0 0 a
3 1 4 0 b
4 5 0 0 a
5 1 4 6 c
6 7 0 0 a
7 1 2 0
自动机的过程与KMP可以转换，只不过自动机考虑了T[i]不匹配过程中的具体字母表的转移，然后KMP只是不匹配的情况下先进行挪动，挪动后发现不匹配之后再进行挪动？直至挪动为0的时候，抑或是一直不匹配i++，此时忽略j；自动机只是具体考虑了此时如果T[i]如果不等于P[j]，并且此时T[i]的具体取值已经指定，在此值指定的情况下应该怎样的转移~
a b a b a c a
0 0 1 2 3 0 1
上面是KMP计算出的模式函数，首先a值是T[i]和P[1]如果相等，则j++，向后移动，但是如果不匹配，此时如同自动机转移表第一行，为b or c，此时就应该i，j同时++了，此时KMP如果发现T[i]和P[1]不相等，则上面算法i++，j取值仍为0，等价于i和j同时++了；
这时考虑b，如果a匹配了，P[2]和T[i]匹配，此时j++=2了，这时候移动两位了，自动机表现匹配两个字母，所以为状态2，但是如果不相等呢？此时考虑了b，必定T[i]和P[1]已经匹配了，KMP中不匹配则考虑移动P，根据值j重新改为0，及向右移动两位，然后自动机此时读入不等的可能为a或者c，如果为a，则KMP移动两位之后匹配上了一位，j++=1，如果为c，移动之后仍然不能匹配，所以i和j同时仍然移动，KMP表现i++，j重新赋值为0；
…
这次考虑一个中间的值，比如c的位置，如果知道T[i]值为多少，则可以知道具体的移动多少，然而KMP中是根据P计算的模式值，所以这里不知道T[i]的值，它有可能是最坏的值，所以这里取得的是最坏的值；所以这里计算自动机转移函数可以考虑KMP中已经计算好的结果，这样提升时间复杂度，
…
所以自动机匹配和KMP算法有一定的等价性，上面的描述比较凌乱，希望能够对你有所启发，
