搜索树(Search Tree)是一个很重要的数据结构。
搜索树包括：二叉搜索树、平衡树、红黑树、B-树。

今天我们的主角是B-树。在大数据时代，B-树成为一个非常热的数据结构。因为搜索树是进行数据查找非常有效的数据结构，而二叉树、平衡树、红黑树他们都是把要查找的字典放在内存中。对于较大大的字典，内存放不下，只能存放在磁盘中，我们的B-树就派上用场了。

先介绍一下在磁盘中的数据的组织和访问方法：索引顺序访问(Indexed Sequential Access Method，即ISAM)。磁盘被分成许多块，如果你不能区分磁盘块、扇区…请点击我。字典元素在一个块中是按升序的方式进行排列的。当我们的字典非常大时，就会占据许多块。那我们就为这些块建立磁盘块索引，索引记录块中的最大元素，索引如果不是很大，可以直接放在内存中。但是，索引若是很大，我们就要为索引建立索引。这样多级索引便出现了。但是，访问起来虽然会比较快，但是，你要是想插入数据，就比较麻烦了。于是，我们在每一个块中留下适当的空间来避免数据在块与块之间的移动。

我们在建立多级索引的时候，就会出现一种数据结构 m叉搜索树(m-way search tree)。给出m叉搜索树的定义：
1.每一个节点最多有m-1个元素和m个孩子
2.元素的值是从小到大的
3.节点中的元素值大于所有此元素的左孩子值，小于所有此元素的右孩子的值
4.空节点使用外部节点来表示（实际中使用0指针来表示空节点）

一棵7叉树：

7叉树的搜索：
当我们搜索20时，从根节点开始，判断大比10大比80小，那他就一定会出现在10的右孩子中。进入10的右孩子，在右树中寻找到20，返回值。
当搜索32时，还是会进入10的右孩子进行搜索，发现比30大比40小，于是进入30的右孩子进行搜索。搜索到32，返回值。
当搜索31时，还是会进入10的右孩子，进入30的右孩子，搜索发现，比32小，于是进入32的左孩子，但左孩子是外部节点，于是，返回未搜索到。

综上，我们发现，搜索的次数最多就是树的高度h。即，我们最多要进行h次磁盘的访问。因为，读取磁盘的速度远远小于读取内存的速度，所以内存的访问忽略不计。也就是说，我们的时间复杂度是O(h)；

7叉树的插入
先在我们的书中进行查找，若是找到相同的关键字，拒绝插入。没有相同关键字时，在最后查找的地方进行做文章。若最后的节点还没有满，那我们就把新元素放在这个节点处。若最后的节点满了，我们就要在这个节点中相应的元素处加上孩子。

在上面给出的7叉树中添加20，31，65时。
搜索20，找到20，拒绝。
搜索31，停在[32][36]处，这个节点没有满，直接把新元素放进来。
搜索65，停在[20][30][40][50][60][70]处，这个节点已经满了，我们只能把他添加到70的左孩子上。

分析一下，最坏是要插在最下一层的下一层。于是，有h次的磁盘访问，和最后一次的写回，磁盘的访写次数是h+1。于是，时间复杂度是O(h)。

7叉树的删除
删除时，要考虑删除节点是不是存在，不存在拒绝。当存在时，若元素既没有左孩子也没有右孩子，则我们可以直接进行删除。若元素有一个孩子，则从这个孩纸中找出合适（左找最大，右找最小）的元素来代替他，然后，把这个合适的元素从原先的位置上进行删除。当有两个孩子时，我们可以让他选择左孩子，与上面的一个孩子类似。

还是最开始的那棵树来举例。

1)我们删除100，没找到，拒绝。
2)删除90时，90没有孩子，直接删除。
3)删除88时，88只有右孩子，从右孩子中找最小的元素90，用90替换88。删除原来的90=>2)
4)删除10时，默认从左孩子中找代替他的，找到5，替换10；删除5=>找5左孩子中最大的4，替换5=>删除4，4没有孩子，直接删除。

分析一下，最复杂的情况就是，我们删除的元素在根节点，而且，这次的删除会影响到叶子。于是，从根到叶子节点，每个节点被访问一次、被修改一次，进行2h次访写。时间复杂度是O(h)。

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综上，我们可以看到，时间的复杂度总是和h有关系。那么，有n个节点的m叉树，最多有多高？最少有多高？

当每一层有一个节点、且每一个节点只有一个元素时，树最高。max（h）=n；
当每一层的每一个节点都有m个元素（放满）时，树最矮。min（h）= logm(n+1) ;

于是，树的高度就在[ logm(n+1) ，n]。为了操作的性能，我们想办法让高度尽量接近 logm(n+1) 。于是，B-树就出现了。

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简单的定义一下B-树,(m序B-树，B-Tree of order m)：
1.首先，他是一棵m叉搜索树。
2.根节点至少有两个孩子。
3.除根以外的内部节点必须至少有 ⌈m/2⌉ 个孩子。
4.所有的外部节点都位于同一层上。

那么，经过这种限制以后，树的高度又是多少？
记d= ⌈m/2⌉
树最高的情况就是，树刚好满足B-树的定义，节点数n= 2∗(dh−1−1)+1=2dh−1−1 。于是，h= logd((n+1)/2)+1
树最矮的情况就是，还是和上面的一样，每一个节点都放满。于是，此时h= logm(n+1)

B-树的序m越大，d越大，h也就越小。但是，这样真的就会越快吗？答案是 不是的。当我们的节点大小超过一个块时，访问一个节点就会访问多个磁盘块。所以，我们的序m要根据磁盘块的大小和元素的大小合理确定。

B-树的搜索和上面m叉树的搜索一样

B-树的插入
当我们插入时，先搜索，若搜到了，那么，拒绝插入。
没搜到，在最后一次访问的节点处判断，如果这个节点没有满，就把这个新元素放在这个节点上。如果这个节点满了，那么就需要进行分裂（把新元素和节点上的元素放在一起，将前半部分变成一个节点，后半部分变成一个节点，中间的元素向上插入（递归）。以 ⌈m/2⌉ 为中）。

一棵7序B-树:

1)插入2，搜到，拒绝。
2)插入3，最后节点是[2][4][6],没满，插入。
3)插入21，最后节点是[20][30][40][50][60][70],满了，进行分裂。
[20][21][30][40][50][60][70]的中间是第4个即[40]。把[40]前面的变成一个节点，[40]后面的变成一个节点。[40]向父节点中进行插入。结果如下：

分析一下，最复杂就是，插入的节点在叶上、而且会发生分裂、且分裂到根。于是，有h次的访问，2h次的节点分裂，1次的新根节点写回。共有3h-1次的磁盘访写。于是，时间复杂是O(h)

B-树的删除
这时候分的情况就比较多了。
首先，要找这个元素是不是存在，不存在，拒绝。
当这个元素在叶子上时，判断叶节点删掉后，元素数是不是小于 ⌈m/2⌉ 。不小于，直接删掉。小于时，判断左右兄弟是不是可以帮他。可以帮，“曲线救兄法”支援给这个节点一个元素。不可以帮，“兄弟齐心法”兄弟联合，拉下父元素来，让父元素替掉要删的元素，删掉父元素（递归）。
当这个元素位于内部时，让右孩子的最大元素来代替他，删掉右孩的最大元素。（递归）

对下面的B-树进行删除

七序B-树
1)当删除1时，找不到，拒绝。
2)当删除2时，找到，删掉后仍符合B-树，直接删掉。
3)当删除20时，删掉后不符合B-树，不能直接删掉，看看他的兄弟。啊，左兄弟元素多可以支援给我。于是曲线救兄。

换一棵树来讲另一种情况

这是一棵3序B-树。

4)当删除10时，10拿走，20和25合并成一个节点，删掉原来的20，于是，判断右兄弟可以帮删20，于是，再来一个“曲线救兄”。流程图：

再换一棵树来讲另一种情况

5）删除44时，[35]和[40]合并，删掉原来的[40]=>于是，[20][30]合并，删掉原来的[30]=>于是，[50][80]合并。删掉原来的[50]。[50]可直接删掉，结束。

分析一下，操作次数：
1.找到节点：h次
2.获取2至h最相邻兄弟：h-1次
3.在第3至h层进行合并：h-2次
4.修改根节点和第二层的两个节点：3次
总操作次数：3h次

当删除内节点时，使用递归，将其转换成叶节点的删除即可。

总结一下：