B-树详细分析及B树B-树B+树B*树概念

B- 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉(下面你会看到,相对于二叉,B树每个内结点有多个分支,即多叉)平衡查找树。

B- 树又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B 树 (m叉树)的特性如下

  1. 树中每个结点最多含有m个孩子(m>=2);
  2. 除根结点和叶子结点外,其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子(其中ceil(x)是一个取上限的函数);
  3. 若根结点不是叶子结点,则至少有2个孩子(特殊情况:没有孩子的根结点,即根结点为叶子结点,整棵树只有一个根节点);
  4. 所有叶子结点都出现在同一层,叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点,实际上这些结点不存在,指向这些结点的指针都为null);
  5. 每个非终端结点中包含有n个关键字信息: (n,P0,K1,P1,K2,P2,……,Kn,Pn)。其中:
           a)   Ki (i=1…n)为关键字,且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。 
           b)   Pi为指向子树根的接点,且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki,但都大于K(i-1)。 
           c)   关键字的个数n必须满足: [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。

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来模拟下查找文件29的过程:

    (1) 根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1,将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作1次】

    (2) 此时内存中有两个文件名17,35和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现17<29<35,因此我们找到指针p2。

    (3) 根据p2指针,我们定位到磁盘块3,并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作2次】

    (4) 此时内存中有两个文件名26,30和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现26<29<30,因此我们找到指针p2。

    (5) 根据p2指针,我们定位到磁盘块8,并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作3次】

    (6) 此时内存中有两个文件名28,29。根据算法我们查找到文件29,并定位了该文件内存的磁盘地址。

插入操作

生成从空树开始,逐个插入关键字。但是由于B_树节点关键字必须大于等于[ceil(m/2)-1],所以每次插入一个关键字不是在树中添加一个叶子结点,而是首先在最底层的某个非终端节点中添加一个“关键字”,该结点的关键字不超过m-1,则插入完成;否则要产生结点的“分裂”,将一半数量的关键字元素分裂到新的其相邻右结点中,中间关键字元素上移到父结点中。

1、咱们通过一个实例来逐步讲解下。插入以下字符字母到一棵空的树中(非根结点关键字数小了(小于2个)就合并,大了(超过4个)就分裂):C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S,首先,结点空间足够,4个字母插入相同的结点中,如下图:

 

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2、当咱们试着插入H时,结点发现空间不够,以致将其分裂成2个结点,移动中间元素G上移到新的根结点中,在实现过程中,咱们把AC留在当前结点中,而HN放置新的其右邻居结点中。如下图:

 

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3、当咱们插入E,K,Q时,不需要任何分裂操作

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4、插入M需要一次分裂,注意M恰好是中间关键字元素,以致向上移到父节点中

 

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5、插入F,W,L,T不需要任何分裂操作

 

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6、插入Z时,最右的叶子结点空间满了,需要进行分裂操作,中间元素T上移到父节点中,注意通过上移中间元素,树最终还是保持平衡,分裂结果的结点存在2个关键字元素。

 

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7、插入D时,导致最左边的叶子结点被分裂,D恰好也是中间元素,上移到父节点中,然后字母P,R,X,Y陆续插入不需要任何分裂操作(别忘了,树中至多5个孩子)。

 

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8、最后,当插入S时,含有N,P,Q,R的结点需要分裂,把中间元素Q上移到父节点中,但是情况来了,父节点中空间已经满了,所以也要进行分裂,将父节点中的中间元素M上移到新形成的根结点中,注意以前在父节点中的第三个指针在修改后包括DG节点中。这样具体插入操作的完成。

 

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删除操作

首先查找B树中需删除的元素,如果该元素在B树中存在,则将该元素在其结点中进行删除,如果删除该元素后,首先判断该元素是否有左右孩子结点,如果有,则上移孩子结点中的某相近元素到父节点中,然后移动之后情况;如果没有,直接删除后,移动之后的情况

删除元素,移动相应元素之后,如果某结点中元素数目(即关键字数)小于ceil(m/2)-1,则需要看其某相邻兄弟结点是否丰满(结点中元素个数大于ceil(m/2)-1)(还记得第一节中关于B树的第5个特性中的c点么?: c)除根结点之外的结点(包括叶子结点)的关键字的个数n必须满足: (ceil(m / 2)-1)<= n <= m-1。m表示最多含有m个孩子,n表示关键字数。在本小节中举的一颗B树的示例中,关键字数n满足:2<=n<=4),如果丰满,则向父节点借一个元素来满足条件;如果其相邻兄弟都刚脱贫,即借了之后其结点数目小于ceil(m/2)-1,则该结点与其相邻的某一兄弟结点进行合并”成一个结点,以此来满足条件。那咱们通过下面实例来详细了解吧。

以上述插入操作构造的一棵5阶B树(树中最多含有m(m=5)个孩子,因此关键字数最小为ceil(m / 2)-1=2。还是这句话,关键字数小了(小于2个)就合并,大了(超过4个)就分裂)为例,依次删除H,T,R,E

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1、首先删除元素H,当然首先查找HH在一个叶子结点中,且该叶子结点元素数目3大于最小元素数目ceil(m/2)-1=2,则操作很简单,咱们只需要移动K至原来H的位置,移动LK的位置(也就是结点中删除元素后面的元素向前移动)

 

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2、下一步,删除T,因为T没有在叶子结点中,而是在中间结点中找到,咱们发现他的继承者W(字母升序的下个元素),将W上移到T的位置,然后将原包含W的孩子结点中的W进行删除,这里恰好删除W后,该孩子结点中元素个数大于2,无需进行合并操作

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3、下一步删除RR在叶子结点中,但是该结点中元素数目为2,删除导致只有1个元素,已经小于最小元素数目ceil(5/2)-1=2,而由前面我们已经知道:如果其某个相邻兄弟结点中比较丰满(元素个数大于ceil(5/2)-1=2),则可以向父结点借一个元素,然后将最丰满的相邻兄弟结点中上移最后或最前一个元素到父节点中(有没有看到红黑树中左旋操作的影子?),在这个实例中,右相邻兄弟结点中比较丰满(3个元素大于2),所以先向父节点借一个元素W下移到该叶子结点中,代替原来S的位置,S前移;然后X在相邻右兄弟结点中上移到父结点中,最后在相邻右兄弟结点中删除X,后面元素前移。

 

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4、最后一步删除E, 删除后会导致很多问题,因为E所在的结点数目刚好达标,刚好满足最小元素个数(ceil(5/2)-1=2,而相邻的兄弟结点也是同样的情况,删除一个元素都不能满足条件,所以需要该节点与某相邻兄弟结点进行合并操作;首先移动父结点中的元素(该元素在两个需要合并的两个结点元素之间)下移到其子结点中,然后将这两个结点进行合并成一个结点。所以在该实例中,咱们首先将父节点中的元素D下移到已经删除E而只有F的结点中,然后将含有DF的结点和含有A,C的相邻兄弟结点进行合并成一个结点。

 

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5、也许你认为这样删除操作已经结束了,其实不然,在看看上图,对于这种特殊情况,你立即会发现父节点只包含一个元素G,没达标(因为非根节点包括叶子结点的关键字数n必须满足于2=<n<=4,而此处的n=1),这是不能够接受的。如果这个问题结点的相邻兄弟比较丰满,则可以向父结点借一个元素。假设这时右兄弟结点(含有Q,X)有一个以上的元素(Q右边还有元素),然后咱们M下移到元素很少的子结点中Q上移到M的位置,这时,Q的左子树将变成M的右子树,也就是含有NP结点被依附在M的右指针上。所以在这个实例中,咱们没有办法去借一个元素,只能与兄弟结点进行合并成一个结点,而根结点中的唯一元素M下移到子结点,这样,树的高度减少一层。

 

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为了进一步详细讨论删除的情况,再举另外一个实例:

这里是一棵不同的5B树,那咱们试着删除C

 

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于是将删除元素C的右子结点中的D元素上移到C的位置,但是出现上移元素后,只有一个元素的结点的情况。

又因为含有E的结点,其相邻兄弟结点才刚脱贫(最少元素个数为2),不可能向父节点借元素,所以只能进行合并操作,于是这里将含有A,B的左兄弟结点和含有E的结点进行合并成一个结点。

 

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这样又出现只含有一个元素F结点的情况,这时,其相邻的兄弟结点是丰满的(元素个数为3>最小元素个数2,这样就可以想父结点借元素了,把父结点中的J下移到该结点中,相应的如果结点中J后有元素则前移,然后相邻兄弟结点中的第一个元素(或者最后一个元素)上移到父节点中,后面的元素(或者前面的元素)前移(或者后移);注意含有KL的结点以前依附在M的左边,现在变为依附在J的右边。这样每个结点都满足B树结构性质。

 

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从以上操作可看出:除根结点之外的结点(包括叶子结点)的关键字的个数n满足:(ceil(m / 2)-1)<= n <= m-1,即2<=n<=4。这也佐证了咱们之前的观点。删除操作完。


在B_树中关键字分布在整个B_树,并且在上层结点中出现过的关键字不再出现在最底层的结点中。顺序链中所有的关键字不能连接在一起。

一颗m阶的B+树和m阶的B_树的差异在于:

1.有n棵子树的结点中含有n个关键字; (而B树是n棵子树有n-1个关键字)

2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息,及指向含有这些关键字记录的指针,且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。(而B树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)

3.所有的非终端结点可以看成是索引部分,结点中仅含有其子树根结点中最大(或最小)关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)

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B树的主要优点:非终端结点仅仅起高层索引作用,而B树非终端结点的关键字除作子树分界外,本身还是实际记录的有效关键字(含记录指针),因此相同的结点空间,B树可以设计的阶树比B树大,相同的索引,B树的索引层数比B树少,因此检索速度比B树快。此外,B树叶子结点包含完整的索引信息,可以较方便地表示文件的稀疏索引。最后,B树的检索、插入和删除都在叶子结点进行,比B树相对简单

B树B-树B+树B*树概念

B

       即二叉搜索树:

       1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子(LeftRight);

       2.所有结点存储一个关键字;

       3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树,右指针指向大于其关键字的子树;

       如:

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      B树的搜索,从根结点开始,如果查询的关键字与结点的关键字相等,那么就命中;否则,如果查询关键字比结点关键字小,就进入左儿子;如果比结点关键字大,就进入右儿子;如果左儿子或右儿子的指针为空,则报告找不到相应的关键字;

       如果B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多(平衡),那么B树的搜索性能逼近二分查找;但它比连续内存空间的二分查找的优点是,改变B树结构(插入与删除结点)不需要移动大段的内存数据,甚至通常是常数开销;

       如:

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   B树在经过多次插入与删除后,有可能导致不同的结构:

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  右边也是一个B树,但它的搜索性能已经是线性的了;同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引;所以,使用B树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构,和避免右图的结构,也就是所谓的“平衡”问题;      

       实际使用的B树都是在原B树的基础上加上平衡算法,即“平衡二叉树”;如何保持B树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键;平衡算法是一种在B树中插入和删除结点的策略;

 

B-

       是一种多路搜索树(并不是二叉的):

       1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子;且M>2

       2.根结点的儿子数为[2, M]

       3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]

       4.每个结点存放至少M/2-1(取上整)和至多M-1个关键字;(至少2个关键字)

       5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1

       6.非叶子结点的关键字:K[1], K[2], …, K[M-1];且K[i] < K[i+1]

       7.非叶子结点的指针:P[1], P[2], …, P[M];其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树,P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树,其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树;

       8.所有叶子结点位于同一层;

       如:(M=3

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      B-树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为空,或已经是叶子结点;

B-树的特性:

       1.关键字集合分布在整颗树中;

       2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中;

       3.搜索有可能在非叶子结点结束;

       4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找;

       5.自动层次控制;

       由于限制了除根结点以外的非叶子结点,至少含有M/2个儿子,确保了结点的至少利用率,其最底搜索性能为:

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       其中,M为设定的非叶子结点最多子树个数,N为关键字总数;

       所以B-树的性能总是等价于二分查找(与M值无关),也就没有B树平衡的问题;

       由于M/2的限制,在插入结点时,如果结点已满,需要将结点分裂为两个各占M/2的结点;删除结点时,需将两个不足M/2的兄弟结点合并;

 

B+

       B+树是B-树的变体,也是一种多路搜索树:

       1.其定义基本与B-树同,除了:

       2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同;

       3.非叶子结点的子树指针P[i],指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树(B-树是开区间);

       5.为所有叶子结点增加一个链指针;

       6.所有关键字都在叶子结点出现;

       如:(M=3

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   B+的搜索与B-树也基本相同,区别是B+树只有达到叶子结点才命中(B-树可以在非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找;

       B+的特性:

       1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中(稠密索引),且链表中的关键字恰好是有序的;

       2.不可能在非叶子结点命中;

       3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层;

       4.更适合文件索引系统;

  

B*

       B+树的变体,在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针;

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   B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M,即块的最低使用率为2/3(代替B+树的1/2);

       B+树的分裂:当一个结点满时,分配一个新的结点,并将原结点中1/2的数据复制到新结点,最后在父结点中增加新结点的指针;B+树的分裂只影响原结点和父结点,而不会影响兄弟结点,所以它不需要指向兄弟的指针;

       B*树的分裂:当一个结点满时,如果它的下一个兄弟结点未满,那么将一部分数据移到兄弟结点中,再在原结点插入关键字,最后修改父结点中兄弟结点的关键字(因为兄弟结点的关键字范围改变了);如果兄弟也满了,则在原结点与兄弟结点之间增加新结点,并各复制1/3的数据到新结点,最后在父结点增加新结点的指针;

       所以,B*树分配新结点的概率比B+树要低,空间使用率更高;

  

小结

       B树:二叉树,每个结点只存储一个关键字,等于则命中,小于走左结点,大于走右结点;

       B-树:多路搜索树,每个结点存储M/2M个关键字,非叶子结点存储指向关键字范围的子结点;

       所有关键字在整颗树中出现,且只出现一次,非叶子结点可以命中;

       B+树:在B-树基础上,为叶子结点增加链表指针,所有关键字都在叶子结点中出现,非叶子结点作为叶子结点的索引;B+树总是到叶子结点才命中;

       B*树:在B+树基础上,为非叶子结点也增加链表指针,将结点的最低利用率从1/2提高到2/3

    原文作者:B树
    原文地址: https://blog.csdn.net/guanyasu/article/details/53443142
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