B树(也叫B-树)、B+树、B*树

0. 简介

在此声明,B-Tree最正确的翻译应该为B树,而不是B-树,也即并没有B-树的说法,二叉树叫Binary Tree,二叉搜索树叫Binary Search Tree(BST)B树叫Balance Tree,简写为B-Tree (注意是这两个单词连起来的意思,不是减号),B+树是B+ Tree。

1. BST(Binary Search Tree,即二叉搜索树,并不是B树)

  1. 所有非叶子结点至多拥有两个儿子(Left和Right,可以只有一个);
  2. 所有结点存储一个关键字;
  3. 非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树,右指针指向大于其关键字的子树;
    如:

《B树(也叫B-树)、B+树、B*树》

B树的搜索,从根结点开始,如果查询的关键字与结点的关键字相等,那么就命中;否则,如果查询关键字比结点关键字小,就进入左儿子;如果比结点关键字大,就进入右儿子;如果左儿子或右儿子的指针为空,则报告找不到相应的关键字;
如果BST树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多(平衡),那么B树的搜索性能逼近二分查找;但它比连续内存空间的二分查找的优点是,改变B树结构(插入与删除结点)不需要移动大段的内存数据,甚至通常是常数开销;
如:
《B树(也叫B-树)、B+树、B*树》
右边也是一个BST树,但它的搜索性能已经是线性的了;同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引;所以,使用BST树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构,和避免右图的结构,也就是所谓的“平衡”问题;
实际使用的BST树都是在原BST树的基础上加上平衡算法,即“平衡二叉树”;如何保持BST树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键;平衡算法是一种在BST树中插入和删除结点的策略;

2. B树也翻译为B-树(是一种多路搜索树 并不是二叉的)

  1. 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子;且M>2;
  2. 根结点的儿子数为[2, M];
  3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M];
  4. 每个结点存放至少M/2-1(取上整)和至多M-1个关键字;(至少2个关键字)
  5. 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1;
  6. 非叶子结点的关键字:K[1], K[2], …, K[M-1];且K[i] < K[i+1];
  7. 非叶子结点的指针:P[1], P[2], …, P[M];其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树,P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树,其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树;
  8. 所有叶子结点位于同一层;

如:(M=3)
《B树(也叫B-树)、B+树、B*树》
B-树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为空,或已经是叶子结点;
B-树的特性:

  1. 关键字集合分布在整颗树中;
  2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中;
  3. 搜索有可能在非叶子结点结束;
  4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找;
  5. 自动层次控制;
    由于限制了除根结点以外的非叶子结点,至少含有M/2个儿子,确保了结点的至少利用率,其最底搜索性能为O(log2N),M为设定的非叶子结点最多子树个数,N为关键字总数;所以B-树的性能总是等价于二分查找(与M值无关),也就没有B树平衡的问题;

3. B+树(B+树是B-树的变体,也是一种多路搜索树)

  1. 其定义基本与B-树同,除了:
  2. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同;
  3. 非叶子结点的子树指针P[i],指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树
    (B-树是开区间);
  4. 为所有叶子结点增加一个链指针;
  5. 所有关键字都在叶子结点出现;
    如:(M=3)
    《B树(也叫B-树)、B+树、B*树》

B+的搜索与B-树也基本相同,区别是B+树只有达到叶子结点才命中(B-树可以在非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找;
B+的特性:
1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中(稠密索引),且链表中的关键字恰好是有序的;
2.不可能在非叶子结点命中;
3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层;
4.更适合文件索引系统;

4. B*树(B+树的变体,在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针)

《B树(也叫B-树)、B+树、B*树》
B树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3) * M,即块的最低使用率为2/3(代替B+树的1/2);
B+树的分裂:当一个结点满时,分配一个新的结点,并将原结点中1/2的数据复制到新结点,最后在父结点中增加新结点的指针;B+树的分裂只影响原结点和父结点,而不会影响兄弟结点,所以它不需要指向兄弟的指针;
B
树的分裂:当一个结点满时,如果它的下一个兄弟结点未满,那么将一部分数据移到兄弟结点中,再在原结点插入关键字,最后修改父结点中兄弟结点的关键字(因为兄弟结点的关键字范围改变了);如果兄弟也满了,则在原结点与兄弟结点之间增加新结点,并各复制1/3的数据到新结点,最后在父结点增加新结点的指针;
所以,B*树分配新结点的概率比B+树要低,空间使用率更高;

5. 小结

  1. BST树:二叉树,每个结点只存储一个关键字,等于则命中,小于走左结点,大于走右结点;
  2. B树(错误叫法是B-树):多路搜索树,每个结点存储M/2到M个关键字,非叶子结点存储指向关键字范围的子结点;所有关键字在整颗树中出现,且只出现一次,非叶子结点可以命中;
  3. B+树:在B-树基础上,为叶子结点增加链表指针,所有关键字都在叶子结点中出现,非叶子结点作为叶子结点的索引;B+树总是到叶子结点才命中;
  4. B*树:在B+树基础上,为非叶子结点也增加链表指针,将结点的最低利用率从1/2提高到2/3;
    原文作者:B树
    原文地址: https://blog.csdn.net/John8169/article/details/80836637
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