二叉搜索树、AVL树、B-树、B+树、B*树、红黑树

二叉排序树

二叉排序树(又叫二叉查找树,二叉搜索树,B树):空树或者是具有下列性质的二叉树:

  1. 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值
  2. 若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
  3. 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef  struct BiTNode    /* 结点结构 */
{
    int data;    /* 结点数据 */
    struct BiTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;

二叉排序树的查找算法

在二叉排序树b中查找x的过程为:

1.若b是空树,则搜索失败,否则:

2.若x等于b的根节点的数据域之值,则查找成功;否则

3.若x小于b的根节点的数据域之值,则搜索左子树;否则

4.查找右子树。

/* 递归查找二叉排序树T中是否存在key, */
/* 指针f指向T的双亲,其初始调用值为NULL */
/* 若查找成功,则指针p指向该数据元素结点,并返回TRUE */
/* 否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回FALSE */
Status SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p) 
{  
    if (!T)    /*  查找不成功 */
    { 
        *p = f;         
        return FALSE; 
    }
    else if (key==T->data) /*  查找成功 */
    { 
        *p = T;      
        return TRUE; 
    } 
    else if (key<T->data) 
        return SearchBST(T->lchild, key, T, p);  /*  在左子树中继续查找 */
    else  
        return SearchBST(T->rchild, key, T, p);  /*  在右子树中继续查找 */
}

二叉树的插入

利用查找函数,将关键字放到树中的合适位置。

/* 当二叉排序树T中不存在关键字等于key的数据元素时, */
/* 插入key并返回TRUE,否则返回FALSE */
Status InsertBST(BiTree *T, int key) 
{  
    BiTree p,s;
    if (!SearchBST(*T, key, NULL, &p)) /* 查找不成功 */
    {
        s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        s->data = key;  
        s->lchild = s->rchild = NULL;  
        if (!p) 
            *T = s;            /* 插入s为新的根结点 */
        else if (key<p->data) 
            p->lchild = s;    /* 插入s为左孩子 */
        else 
            p->rchild = s;  /* 插入s为右孩子 */
        return TRUE;
    } 
    else 
        return FALSE;  /* 树中已有关键字相同的结点,不再插入 */
}

二叉树的删除

在二叉排序树中删去一个结点,分三种情况讨论:

  1. 若*p结点为叶子结点,即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构,则只需修改其双亲结点的指针即可。
  2. 若p结点只有左子树PL或右子树PR,此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点f的左子树(当p是左子树)或右子树(当p是右子树)即可,作此修改也不破坏二叉排序树的特性。
  3. 若p结点的左子树和右子树均不空。在删去p之后,为保持其它元素之间的相对位置不变,可按中序遍历保持有序进行调整。比较好的做法是,找到p的直接前驱(或直接后继)s,用s来替换结点p,然后再删除结点*s。
/* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时,则删除该数据元素结点, */
/* 并返回TRUE;否则返回FALSE。 */
Status DeleteBST(BiTree *T,int key)
{ 
    if(!*T) /* 不存在关键字等于key的数据元素 */ 
        return FALSE;
    else
    {
        if (key==(*T)->data) /* 找到关键字等于key的数据元素 */ 
            return Delete(T);
        else if (key<(*T)->data)
            return DeleteBST(&(*T)->lchild,key);
        else
            return DeleteBST(&(*T)->rchild,key);

    }
}

/* 从二叉排序树中删除结点p,并重接它的左或右子树。 */
Status Delete(BiTree *p)
{
    BiTree q,s;
    if((*p)->rchild==NULL) /* 右子树空则只需重接它的左子树(待删结点是叶子也走此分支) */
    {
        q=*p; *p=(*p)->lchild; free(q);
    }
    else if((*p)->lchild==NULL) /* 只需重接它的右子树 */
    {
        q=*p; *p=(*p)->rchild; free(q);
    }
    else /* 左右子树均不空 */
    {
        q=*p; s=(*p)->lchild;
        while(s->rchild) /* 转左,然后向右到尽头(找待删结点的前驱) */
        {
            q=s;
            s=s->rchild;
        }
        (*p)->data=s->data; /* s指向被删结点的直接前驱(将被删结点前驱的值取代被删结点的值) */
        if(q!=*p)
            q->rchild=s->lchild; /* 重接q的右子树 */ 
        else
            q->lchild=s->lchild; /* 重接q的左子树 */
        free(s);
    }
    return TRUE;
}

平衡二叉树(AVL树)

性质:它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

判断一个树是不是平衡二叉树

/** * Definition of TreeNode: * class TreeNode { * public: * int val; * TreeNode *left, *right; * TreeNode(int val) { * this->val = val; * this->left = this->right = NULL; * } * } */
class Solution {
public:
    /** * @param root: The root of binary tree. * @return: True if this Binary tree is Balanced, or false. */
    int depth(TreeNode* root) {  //求树的高度
        if (root == NULL) {
            return 0;
        }
        return 1 + max(depth(root->left),depth(root->right));
    }
    bool isBalanced(TreeNode *root) {
        // write your code here
        if (root == NULL) {
            return true;
        }
        int l = depth(root->left);
        int r = depth(root->right);
        if (abs(l -r) > 1) {
            return false;
        }
        return isBalanced(root->left) && isBalanced(root->right);
    }
};

B-树

是一种平衡的多路查找树,它在文件系统中很有用。

M阶的B-Tree满足以下条件

  1. 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子,且M>2;
  2. 根结点的儿子数为[2, M];
  3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M];
  4. 每个结点存放至少M/2-1(取上整)和至多M-1个关键字;(至少2个关键字,保证树的深度不会太大);
  5. 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1;
  6. 非叶子结点的关键字:K[1], K[2], …, K[M-1];且K[i] < K[i+1];
  7. 非叶子结点的指针:P[1], P[2], …, P[M];其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树,P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树,其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树;
  8. 所有叶子结点位于同一层,并且不带任何信息(可以看作是外部节点查找失败的节点,为空);

如M = 3

《二叉搜索树、AVL树、B-树、B+树、B*树、红黑树》

B-树的搜索:从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的子结点;重复,直到所对应的子指针为空,或已经是叶子结点;

B-树的特性:

   1.关键字集合分布在整颗树中;

   2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中(没有重复的关键字);

   3.搜索有可能在非叶子结点结束;

   4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找;

   5.自动层次控制;

B-树主要应用在文件系统

为了将大型数据库文件存储在硬盘上 以减少访问硬盘次数为目的 在此提出了一种平衡多路查找树——B-树结构 由其性能分析可知它的检索效率是相当高的 为了提高 B-树性能’还有很多种B-树的变型,力图对B-树进行改进

B+树

B+树是B-树的变体,也是一种多路搜索树:

其定义基本与B-树同,除了:

  1. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同;
  2. 非叶子结点的子树指针P[i],指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树(B-树是开区间);
  3. 为所有叶子结点增加一个链指针;
  4. 所有关键字都在叶子结点出现;

如M = 3

《二叉搜索树、AVL树、B-树、B+树、B*树、红黑树》

B+的搜索与B-树也基本相同,区别是B+树只有达到叶子结点才命中(B-树可以在

非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找;

B+的特性:

  1. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中(稠密索引),且链表中的关键字恰好是有序的;

  2. 不可能在非叶子结点命中;

  3. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层;
  4. 更适合文件索引系统;

数据库为什么使用B+树?

红黑树等数据结构也可以用来实现索引,但是文件系统及数据库系统普遍采用B-/+Tree作为索引结构。

一般来说,索引本身也很大,不可能全部存储在内存中,因此索引往往以索引文件的形式存储的磁盘上。这样的话,索引查找过程中就要产生磁盘I/O消耗,相对于内存存取,I/O存取的消耗要高几个数量级,所以评价一个数据结构作为索引的优劣最重要的指标就是在查找过程中磁盘I/O操作次数的渐进复杂度。换句话说,索引的结构组织要尽量减少查找过程中磁盘I/O的存取次数。为什么使用B-/+Tree,还跟磁盘存取原理有关。

局部性原理与磁盘预读

由于存储介质的特性,磁盘本身存取就比主存慢很多,再加上机械运动耗费,磁盘的存取速度往往是主存的几百分分之一,因此为了提高效率,要尽量减少磁盘I/O。为了达到这个目的,磁盘往往不是严格按需读取,而是每次都会预读,即使只需要一个字节,磁盘也会从这个位置开始,顺序向后读取一定长度的数据放入内存。这样做的理论依据是计算机科学中著名的局部性原理:

当一个数据被用到时,其附近的数据也通常会马上被使用。

  程序运行期间所需要的数据通常比较集中。由于磁盘顺序读取的效率很高(不需要寻道时间,只需很少的旋转时间),因此对于具有局部性的程序来说,预读可以提高I/O效率。

  预读的长度一般为页(page)的整倍数。页是计算机管理存储器的逻辑块,硬件及操作系统往往将主存和磁盘存储区分割为连续的大小相等的块,每个存储块称为一页(在许多操作系统中,页得大小通常为4k),主存和磁盘以页为单位交换数据。当程序要读取的数据不在主存中时,会触发一个缺页异常,此时系统会向磁盘发出读盘信号,磁盘会找到数据的起始位置并向后连续读取一页或几页载入内存中,然后异常返回,程序继续运行。

B-/+Tree检索一次最多需要访问节点:h =《二叉搜索树、AVL树、B-树、B+树、B*树、红黑树》

数据库系统巧妙利用了磁盘预读原理,将一个节点的大小设为等于一个页,这样每个节点只需要一次I/O就可以完全载入。为了达到这个目的,在实际实现B- Tree还需要使用如下技巧:

  • 每次新建节点时,直接申请一个页的空间,这样就保证一个节点物理上也存储在一个页里,加之计算机存储分配都是按页对齐的,就实现了一个node只需一次I/O。

  • B-Tree中一次检索最多需要h-1次I/O(根节点常驻内存),渐进复杂度为O(h)=O(logmN)。一般实际应用中,m是非常大的数字,通常超过100,因此h非常小(通常不超过3)。

综上所述,用B-Tree作为索引结构效率是非常高的。而红黑树这种结构,h明显要深的多。由于逻辑上很近的节点(父子)物理上可能很远,无法利用局部性,所以红黑树的I/O渐进复杂度也为O(h),效率明显比B-Tree差很多。

B*树

是B+树的变体,在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针;

《二叉搜索树、AVL树、B-树、B+树、B*树、红黑树》

红黑树

参考http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6105630

红黑树是一棵二叉查找树,但它在二叉查找树的基础上增加了着色和相关的性质使得红黑树相对平衡,从而保证了红黑树的查找、插入、删除的时间复杂度最坏为O(log n)。

红黑树的五个性质:

  1. 每个结点要么是红的要么是黑的。
  2. 根结点是黑的。
  3. 每个叶子结点(叶结点即指树尾端NIL指针或NULL结点)都是黑的。
  4. 如果一个结点是红的,那么它的两个儿子都是黑的。
  5. 对于任意结点而言,其到叶结点树尾端NIL指针的每条路径都包含相同数目的黑结点。

《二叉搜索树、AVL树、B-树、B+树、B*树、红黑树》

总结

  • B树:二叉树,每个结点只存储一个关键字,等于则命中,小于走左结点,大于走右结点;
  • B-树:多路搜索树,每个结点存储M/2到M个关键字,非叶子结点存储指向关键字范围的子结点;所有关键字在整颗树中出现,且只出现一次,非叶子结点可以命中;
  • B+树:在B-树基础上,为叶子结点增加链表指针,所有关键字都在叶子结点中出现,非叶子结点作为叶子结点的索引;B+树总是到叶子结点才命中;
  • B*树:在B+树基础上,为非叶子结点也增加链表指针,将结点的最低利用率从1/2提高到2/3;

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参考网址

http://www.cnblogs.com/oldhorse/archive/2009/11/16/1604009.html

http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6105630

http://blog.csdn.net/hguisu/article/details/7786014

    原文作者:B树
    原文地址: https://blog.csdn.net/lis_12/article/details/57416576
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