什么是 B-树？

1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一种适用于外查找的树，它是一种平衡的多叉树（或多路查找树），称为 B树。

B树，有时又写为B-树或B_树（其中的“-”或者“_”只是连字符，并不读作“B减树”），一颗 m 阶的 B树是一棵平衡的 m 路搜索树。它或者是空树，或者是满足下列性质的树：

1. 若根结点不是叶子结点（那种情况只能是整个树就一个根节点），则至少有两棵子树；
2. 每个非根节点所包含的关键字个数 n 满足：⌈m/2⌉ - 1 <= n <= m - 1（向上取整）；
3. 除根结点以外的所有结点（不包括叶子结点）的度数正好是关键字总数加1，故内部子树个数 k 满足：⌈m/2⌈ <= k <= m ；
4. 所有的叶子结点都位于同一层。实际上这些结点都不存在，指向这些结点的指针都为 NULL；

在 B-树中，所有的非终端结点中包含下列信息数据：(n，A0，K1，A1，K2，A2，…，Kn，An)，n 表示结点中包含的关键字的个数，取值范围是：⌈m/2⌉-1≤ n ≤m-1。Ki （i 从 1 到 n）为关键字，且 Ki < Ki+1 ；Ai 代表指向子树根结点的指针，且指针 Ai-1 所指的子树中所有结点的关键字都小于 Ki，An 所指子树中所有的结点的关键字都大于 Kn。

图 1 结点结构

如图 1 所示，当前结点中有 4 个关键字，之间的关系为：K1<K2<k3<K4。同时对于 A0 指针指向的子树中的所有关键字来说，其值都要比 K1 小；而 A1 指向的子树中的所有的关键字的值，都比 K1 大，但是都要比 K2 小。比如下面的树：一棵 4 阶的 B-树，这棵树的深度为 4 ：
图 2 深度为 4 的B-树

B-树的查找

在使用 B-树 进行查找操作时，例如在如图 2 所示的 B树 中查找关键字 47 的过程为：

1. 从整棵树的根结点开始，由于根结点只有一个关键字 35，且 35 < 47 ，所以如果 47 存在于这棵树中，肯定位于 A1 指针指向的右子树中；
2. 然后顺着指针找到存有关键字 43 和 78 的结点，由于 43 < 47 < 78，所以如果 47 存在，肯定位于 A1 所指的子树中；
3. 然后找到存有 47、53 和 64 三个关键字的结点，最终找到 47 ，查找操作结束；

以图 2 中的 B-树为例，若查找到深度为 3 的结点还没结束，则会进入叶子结点，但是由于叶子结点本身不存储任何信息，全部为 NULL，所以查找失败。

B-树中插入关键字（构建B-树）

B-树也是从空树开始，通过不断地插入新的数据元素构建的。但是 B-树构建的过程同二叉排序树和平衡二叉树不同，B-树在插入新的数据元素时并不是每次都向树中插入新的结点。

因为对于 m 阶的 B-树来说，在定义中规定所有的非叶子结点（叶子结点其关键字个数为 0）中包含关键字的个数的范围是⌈m/2⌉ - 1 <= n <= m - 1，所以在插入新的数据元素时，首先向最底层的某个非叶子结点中添加，有下面两种情况：

1. 如果该结点中的关键字个数没有超过 m-1，则直接插入成功；
2. 如果该节点在添加完关键字之后（排好序），关键字数已经达到了m，该节点将分裂成两个节点。

节点分裂的方式是：最中间的关键字向上移到父节点，大于和小于中间关键字的部分分别成为两个新的节点。可以看到，节点分裂的时候父节点得到了一个新的关键字，如果分裂前父节点关键字树已经饱和了（m-1个），会导致父节点也分裂，在最坏的情况下，分裂会一直进行到根节点，根节点一分裂，整个树的高度都会加一。

举个栗子，以下5阶B树：

为了方便，在例子中使用 Pi （i 从 1 到 n）表示指向子节点的指针，并且去掉了指向 NULL 节点的部分。

加入关键字40：可以很快定位到加入元素的位置是第三个叶子节点，加完之后树变成了这样：

加入关键字56：定位到新增关键字的位置，第四个叶子节点，加完之后树变成这样：

加入关键字45：应该添加到第三个叶子节点，加完之后树变成这样：

还没完，5阶B树每个节点最多4个关键字，这样第三个叶子节点关键字超上限了，需要分裂。中间关键字35上升到父元素，因为35是从P3的节点来的，所以35在父节点中的位置就在小于P3的关键字30和大于P3的关键字50之间。叶子节点中小于35的关键字(31和32)组成新节点，大于35的关键字(40和45)组成新节点，然后树变成这样：

加入关键字51：应该添加到第5个叶子节点，加完是这样：

第五个叶子节点关键字数超上限，分裂之后中间元素56上移到父元素，变成这样：

父节点得到了关键字56之后，关键字数也超上限了，也需要分裂，中间关键字35上移，大于和小于35的关键字分别形成新的节点，P3和P4指针的位置其实还是不变的，最终树变成这样：

整个树增加了一层。

B-树中删除关键字

从 B-树的节点中删除关键字时，需要考虑删除之后节点的关键字数量是否小于下限。

如果删除之后节点中的关键字小于下限，则需要从子树中获取关键字，或从相邻兄弟节点获取关键字，或和相邻兄弟节点合并。如果从子树获取关键字之后子树依然能保持B树的基本要求，则可以从子树中获取，否则看相邻兄弟节点元素是否富余，富余的话可以从兄弟节点获取元素，相邻兄弟节点也不富余就需要和兄弟节点合并。

从相邻兄弟节点获取关键字时，当然不是把兄弟节点的关键字直接拿过来，而是把当前节点和兄弟节点之间的那个父节点关键字拿过来，然后兄弟节点给父节点补一个关键字。

和兄弟节点合并时，需要把当前节点和兄弟节点之间的那个父节点关键字下移，然后和该节点还有兄弟节点组成新的节点，基于 B-树节点关键字的数量要求，这样合并出来的新节点关键字数不会超上限。这种方式在极端情况下可能会导致根节点下移合并，也就是树的层数会减少1层。

举个栗子，以下五阶B树：

删除关键字21：最普通的情况，第一个叶子节点删除21之后，剩余关键字数量3，不需要变动，删完了变成这样：

删除关键字26：删除26之后节点只剩下了30一个关键字，已经不满足B树的要求，可以从子节点中获取关键字。在这个例子中只能从第一个叶子节点中获取，把叶子节点中最接近被删除关键字的元素22移到父节点，删完了是这样：

删除关键字29：节点删除29之后关键字只剩下了28，已经低于下限，没有子节点可以获取关键字，考虑从相邻兄弟节点获取。第一个叶子节点已经处于下限，只能从第三个叶子节点获取关键字。步骤如下：把第二叶子节点和第三叶子节点之间的父元素关键字30移到第二叶子节点，然后第三叶子节点把距离30最近的关键字31补给父节点，移完之后树是这样的：

删除关键字12：删除12之后第一叶子节点就只剩下了5，低于下限。在这个例子中该节点没有子节点，也不能从相邻兄弟节点中获取关键字（兄弟节点只有28和30两个关键字，不能再减少），所以只能和相邻兄弟节点合并。合并的步骤如下：把第一叶子节点和第二叶子节点之间的父节点关键字22下移，然后和第一叶子节点和第二叶子节点组成新的节点，合并完成之后的树是这样的：

此时父节点只有一个关键字31，小于下限，和直接删除该节点的关键字不同，无法再从子节点中获取关键字，在这个例子中也无法从相邻的兄弟节点获取，只能考虑和相邻兄弟节点合并，合并步骤：父节点关键字35下移，和两个子节点组成新的节点，这个节点实际上成为了根节点，整个树的高度减少了1，合并完的结果如下：

最基本的删除例子就是这样，实际上在层数比较多的情况下，删除操作可能会更复杂一些。

总结

由于 B-树具有分支多层数少的特点，使得它更多的是应用在数据库系统中。除了 B-树，还有专门为文件系统而生的 B+树，在下一节会详细介绍。