• 作者：邹祁峰
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• 日期：2014.04.13
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1. 引言

  关于B的性质、结构定义、插入操作的处理和相关代码可以参考《算法导论 之 B树 – 创建、插入》一文，而本文主要是讲解B树删除操作的处理过程。在B树的插入操作过程中需要进行结点“分裂”处理，而删除操作正好相反，其需要进行结点“合并”处理，但是它们的共同目的是一致的 —— 维护B树的特征。

  一棵m阶的B树，或为空树，或为满足下列特征的m叉树：

    1) 树中每个结点至多有m棵子树；

    2) 若根结点不是终端结点，则至少有2棵子树；

    3) 除根之外，所有非终端结点至少有棵子树；

    4) 所有的非终端结点中包含下列信息数据:

[n, C0, K0, C1, K1, C2, K2, …., Kn-1, Cn]

        其中：Ki[i=0,1，…，n-1]为关键字，且Ki<Ki+1[i=0, 1, …, n-2]；Ci[i=0,1,…,n]为至上子树根结点的指针，且指针Ci所指子树中所有结点的关键字均小于Ki[i=0,1,…,n-1]，但都大于Ki-1[i=1,…,n-1]；

    5) 所有叶子结点均处在同一层。

2. 处理流程

2.1 删除流程

  假设现有一棵m阶的B树，则单个结点的关键字最大个数max=m-1，关键字最小个数min=
。假设被删关键字key为结点node中的第idx个关键字，由B树的特征可知，在删除操作之前，结点node的关键字个数num需满足min <= num <= max）。

  情况1：被删关键字KEY所在结点node为非最底层结点时

    Step1：找到被删关键字KEY在结点node中的位置idx —— 即：node->key[idx]为将被删除的关键字

    Step2：找到以子结点child = node->child[idx]为根节点的子树

    Step3：再找到该子树中的最大关键字KEY2，并将之拿去填充被删关键字KEY的位置，即：node->key[idx] = KEY2。 —— 子树最大关键字MaxKey被拿走后，相当于子树最大关键字的原位置被空缺了出来，也可在一定意义上理解为最终删除的子树中的最大关键字。

    经过思考后可发现：以子结点child = node->child[idx]为根节点的子树中最大关键字一定是在最底层某个结点中，不管要求被删的关键字KEY在哪个结点，均可视为最终被删的关键字都是在最底层结点中，而最底层结点的处理请参考2）的处理流程。

  情况2：被删关键字KEY所在结点node为最底层结点时

    2.1) 删除操作前，结点node的关键字个数num>时，则进行删除操作后，结点node关键字个数num仍然处在min <= num <= max的范围之中，此时删除操作处理完成;

    2.2) 删除操作前，结点node的关键字个数num=时，则进行删除操作后，结点node的关键字个数num<，显然已经不符合B树的特征，为了维护B树的特征，此时需要进行的处理有2种情况：

    ->2.2.1) 如果结点node的兄弟结点brother的结点个数num>时，则结点node可以向brother借用一个结点，但是需要以父结点的关键字为跳板，此时删除操作处理完成;

    ->2.2.2) 如果结点node的兄弟结点brother的节点个数num=时，则将node和brother进行合并为一个结点new，同时需要将父结点parent中夹在node和brother之间的关键字插入到新结点new中。如果父结点parent中的一个关键字被插入到了新结点后，父结点parent的关键字个数num>=，则删除操作处理完成; 如果父结点parent的关键字个数num<，则父结点parent此时已经不满足B树特征，则需以父结点为操作对象进行2.2）中的情况判断，并依次类推直至根结点。

2.2 图形解说

  假设现有阶m=3的B树，其初始结构如图1所示，可知：单个结点最大关键字个数max = m-1 = 2，最小关键字个数min =  = 1。则其相关处理的描述如下：


图1 初始结构
  1) 删除关键字30
    分析：关键字30为非最底层结点，其为2.1节的第1）种情况。
    Step1：找到以子结点[2| 15, 18]为根结点的子树中的最大关键字22替代[1| 30]中的关键字30，可视为结点[2| 20, 22]中的最大关键字22被删除，变为[1| 20]；


图2 替代关键字


    Step2：子结点[2| 20, 22]中的最大关键字22被删除后，其变为[1| 20]。与情况2中的2.1）一致，即删除前num=2 (num > )，删除后num=1 >= min，故删除操作结束。


图3 最终结果


  2) 删除关键字20
    分析：因结点[1| 20]为最底层结点，删除前结点[1| 20]中的关键字个数num=，且brother结点[2|16, 17]的关键字个数num>，因此其处理情况与情况2.2.1）是一致的。
    Step1：删除结点[1| 20]中关键字20后，只需按照2.2.1）的情况执行“结点node可以向brother借用一个结点，但是需要以父结点的关键字为跳板，此时删除操作处理完成”。即：node向brother结点[1| 16, 17]借用关键字17，再以parent结点[2| 15，18]的关键字18作为跳板，此时删除操作处理完成。因满足条件“如果父结点parent中的一个关键字被插入到了新结点后，父结点parent的关键字个数num>=，则删除操作处理完成”，故删除操作处理完成。


图4 借用关键字




图5 最终结果


 3)删除关键字16
    分析：因结点[1| 16]为最底层结点，删除前结点[1| 16]中的关键字个数num=，且brother结点[1|18]的关键字个数num=，因此其处理情况与情况2.2.2）是一致的。
    Step1：删除结点[1| 16]中关键字20后，只需按照2.2.2）的情况执行“将node和brother进行合并为一个结点new，同时需要将父结点parent中夹在node和brother之间的关键字插入到新结点new中”。即：node结点[1| 16]被删关键字16后，成了node结点[0| ]，其再和brother结点[1| 18]以及parent中的关键字17合并，成了new结点[2| 17，18]。


图6 结点合并



图7 最终结果


    只需依以上处理过程类推，就可达到维护B树结构的结果…

2.3 代码实现

/******************************************************************************
 **函数名称: btree_delete
 **功    能: 删除指定关键字
 **输入参数: 
 **     btree: B树
 **     key: 关键字
 **输出参数: NONE
 **返    回: 0:success !0:failed
 **实现描述: 
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2014.03.12 #
 ******************************************************************************/
int btree_delete(btree_t *btree, int key)
{
    int idx = 0;
    btree_node_t *node = btree->root;


    while(NULL != node) {
        for(idx=0; idx<node->num; idx++) {
            if(key == node->key[idx]) {
                return _btree_delete(btree, node, idx);
            }
            else if(key < node->key[idx]) {
                break;
            }
        }

        node = node->child[idx];
    }

    return 0;
}

代码1 对外接口

/******************************************************************************
 **函数名称: _btree_delete
 **功    能: 在指定结点删除指定关键字
 **输入参数: 
 **     btree: B树
 **     node: 指定结点
 **     idx: 将被删除的关键字在结点node中位置(0 ~ node->num - 1)
 **输出参数: NONE
 **返    回: 0:success !0:failed
 **实现描述: 
 **     使用node->child[idx]中的最大值替代被删除的关键字, 
 **     并依次向下处理直至最底层结点, 
 **     -- 其实最终其处理过程相当于是删除最底层结点的关键字
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2014.03.12 #
 ******************************************************************************/
static int _btree_delete(btree_t *btree, btree_node_t *node, int idx)
{
    btree_node_t *orig = node, *child = node->child[idx];

    /* 使用node->child[idx]中的最大值替代被删除的关键字 */
    while(NULL != child) {
        node = child;
        child = node->child[child->num];
    }

    orig->key[idx] = node->key[node->num - 1];

    /* 最终其处理过程相当于是删除最底层结点的关键字 */
    node->key[--node->num] = 0;
    if(node->num < btree->min) {
        return btree_merge(btree, node);
    }

    return 0;
}

代码2 删除结点

/******************************************************************************
 **函数名称: btree_merge
 **功    能: 合并结点
 **输入参数: 
 **     btree: B树
 **     node: 该结点关键字数num<min
 **输出参数: NONE
 **返    回: 0:success !0:failed
 **实现描述: 
 **    处理情况分类:
 **     1) 合并结点的情况: node->num + brother->num + 1 <= max
 **     2) 借用结点的情况: node->num + brother->num + 1 >  max
 **注意事项: 
 **     node此时为最底层结点
 **作    者: # Qifeng.zou # 2014.03.12 #
 ******************************************************************************/
static int btree_merge(btree_t *btree, btree_node_t *node)
{
    int idx = 0, m = 0, mid = 0;
    btree_node_t *parent = node->parent, *right = NULL, *left = NULL;

    /* 1. node是根结点, 不必进行合并处理 */
    if(NULL == parent) {
        if(0 == node->num) {
            if(NULL != node->child[0]) {
                btree->root = node->child[0];
                node->child[0]->parent = NULL;
            } else {
                btree->root = NULL;
            }
            free(node);
        }
        return 0;
    }

    /* 2. 查找node是其父结点的第几个孩子结点 */
    for(idx=0; idx<=parent->num; idx++) {
        if(parent->child[idx] == node) {
            break;
        }
    }

    if(idx > parent->num) {
        fprintf(stderr, "[%s][%d] Didn't find node in parent's children array!\n", __FILE__, __LINE__);
        return -1;
    }
    /* 3. node: 最后一个孩子结点(left < node)
     * node as right child */
    else if(idx == parent->num) {
        mid = idx - 1;
        left = parent->child[mid];

        /* 1) 合并结点 */
        if((node->num + left->num + 1) <= btree->max) {
            return _btree_merge(btree, left, node, mid);
        }

        /* 2) 借用结点:brother->key[num-1] */
        for(m=node->num; m>0; m--) {
            node->key[m] = node->key[m - 1];
            node->child[m+1] = node->child[m];
        }
        node->child[1] = node->child[0];

        node->key[0] = parent->key[mid];
        node->num++;
        node->child[0] = left->child[left->num];
        if(NULL != left->child[left->num]) {
            left->child[left->num]->parent = node;
        }

        parent->key[mid] = left->key[left->num - 1];
        left->key[left->num - 1] = 0;
        left->child[left->num] = NULL;
        left->num--;
        return 0;
    }
    
    /* 4. node: 非最后一个孩子结点(node < right)
     * node as left child */
    mid = idx;
    right = parent->child[mid + 1];

    /* 1) 合并结点 */
    if((node->num + right->num + 1) <= btree->max) {
        return _btree_merge(btree, node, right, mid);
    }

    /* 2) 借用结点: right->key[0] */
    node->key[node->num++] = parent->key[mid];
    node->child[node->num] = right->child[0];
    if(NULL != right->child[0]) {
        right->child[0]->parent = node;
    }

    parent->key[mid] = right->key[0];
    for(m=0; m<right->num; m++) {
        right->key[m] = right->key[m+1];
        right->child[m] = right->child[m+1];
    }
    right->child[m] = NULL;
    right->num--;
    return 0;
}

代码3 合并结点

/******************************************************************************
 **函数名称: _btree_merge
 **功    能: 合并结点
 **输入参数: 
 **     btree: B树
 **     node: 
 **     brother:
 **输出参数: NONE
 **返    回: 0:success !0:failed
 **实现描述: 
 **注意事项: 
 **作    者: # Qifeng.zou # 2014.03.12 #
 ******************************************************************************/
static int _btree_merge(btree_t *btree, btree_node_t *left, btree_node_t *right, int mid)
{
    int m = 0;
    btree_node_t *parent = left->parent;

    left->key[left->num++] = parent->key[mid];

    memcpy(left->key + left->num, right->key, right->num*sizeof(int));
    memcpy(left->child + left->num, right->child, (right->num+1)*sizeof(btree_node_t *));
    for(m=0; m<=right->num; m++) {
        if(NULL != right->child[m]) {
            right->child[m]->parent = left;
        }
    }
    left->num += right->num;

    for(m=mid; m<parent->num-1; m++) {
        parent->key[m] = parent->key[m+1];
        parent->child[m+1] = parent->child[m+2];
    }

    parent->key[m] = 0;
    parent->child[m+1] = NULL;
    parent->num--;
    free(right);

    /* Check */
    if(parent->num < btree->min) {
        return btree_merge(btree, parent);
    }

    return 0;
}

代码4 合并结点

2.4 结果展示

图8 结果展示