B+树和B-树总结：
B+ 树是B-树的变体，也是一种多路搜索树
B+树与B-树相同点在于：
1. 对于一颗M阶B+和B-树来说，根节点的分支数范围为[2,m]，非根结点的分支数范围为[m/2(向上取整)，m]
2. 所有叶子结点都在同一层
3. 插入操作都是在叶子结点完成（破坏结构后再向上调整）
B+ 树与B-树不同点在于：
1. B+树非叶子结点的字数指针与关键字个数相同；B-树所有结点的分支（指针）个数比关键字个数大1。（分支数都相同，关键字数B+ 树与分指数相同，B-树比分支数少1）
2. B+树非叶子结点的字数指针P[i]，指向关键字值属于[k[i] , K[i+1]) 或 (k[i] , K[i+1]] 的子树（注意：B+树关键字区间是“一开一闭”）；
B-树都是开区间，因为结点内的关键字都不重复，所以不会出现一个区间闭合处的关键字，所以都是开区间，例：
P[0]指向小于k[0]关键字的结点，p[1]指向大于k[0]小于k[1]关键字的结点，p[2]指向大于k[1]关键字的结点。（指针指向的结点不会包含上层关键 字）
3. B+树的所有关键字都在叶子结点出现；B-树的关键字可以在非叶子结点被找到。
4. B+树为所有叶子结点增加了一个链指针，将所有叶子结点用指针链穿起来。（稠密索引）
总结B+ 树和B- 树插入删除：
1. 都是在叶子结点进行插入，如果不破坏结构的话，直接插入；如果破坏结构，关键字多于规定时，进行结点拆分，在[m/2](向上取整)处拆分，拆分后再调整父节点到符合规定的状态
2. B+树删除都是在叶子结点进行，如果不破坏结构的话，直接删除；如果破坏结构，关键字少于规定时，先观察左右兄弟结点，若结点关键字数大于[m/2](即大于最小值)，则可以借结点过来，并调整父节点到规定结构；若左右兄弟结点不可借，则进行结点合并，再修改父节点到规定结构。
B-树杀出可能在叶子结点，可以在非叶子结点，在叶子结点和B+树类似，不满足结构时需要借关键字或合并结点；在非叶子结点时，需要找到他的相邻关键字进行替换，在删除叶子节点上的相邻关键字（上一篇B-树删除操作里说过）
B+树定义及插入删除操作图解：（转）
一， M阶B+树的定义(M阶是指一个节点最多能拥有的孩子数,M>2):
图1.1 3阶B+树
(1)根结点只有1个，分支数量范围[2,m]。
(2)除根以外的非叶子结点，每个结点包含分支数范围[[m/2],m]，其中[m/2]表示取大于m/2的最小整数。
(3)所有非叶子节点的关键字数目等于它的分支数量。
(4) 所有叶子节点都在同一层，且关键字数目范围是[[m/2],m]，其中[m/2]表示取大于m/2的最小整数。
(5)所有非叶子节点的关键字可以看成是索引部分，这些索引等于其子树（根结点）中的最大（或最小）关键字。例如一个非叶子节点包含信息: (n，A0,K0, A1,K1,……,Kn,An)，其中Ki为关键字，Ai为指向子树根结点的指针，n表示关键字个数。即Ai所指子树中的关键字均小于或等于Ki，而Ai+1所指的关键字均大于Ki（i=1，2，……，n）。
(6)叶子节点包含全部关键字的信息(非叶子节点只包含索引)，且叶子结点中的所有关键字依照大小顺序链接(所以一个B+树通常有两个头指针，一个是指向根节点的root，另一个是指向最小关键字的sqt)。
二， 3阶B+树的插入举例：
l 例1：
往下图的3阶B+树中插入关键字9
首先查找9应插入的叶节点(最左下角的那一个),插入发现没有破坏B+树的性质,完毕。插完如下图所示:
l 例2：
往下图的3阶B+树插入20
首先查找20应插入的叶节点(第二个叶子节点),插入，如下图
发现第二个叶子节点已经破坏了B+树的性质,则把之分解成[20 21], [37 44]两个,并把21往父节点移，如下图
发现父节点也破坏了B+树的性质,则把之再分解成[15 21], [44 59]两个,并把21往其父节点移，如下图
这次没有破坏B+树的性质(如果还是不满足B+树的性质,可以递归上去,直到满足为至),插入完毕。
l 例3：
往下图的3阶B+树插入100
首先查找100应插入的叶节点(最后一个节点), 插入，如下图
修改其所有父辈节点的键值为100(只有插入比当前树的最大数大的数时要做此步),如下图
然后重复Eg.2的方法拆分节点,最后得
三， 3阶B+树的删除举例：
l 例1：
删除下图3阶B+树的关键字91
首先找到91所在叶节点(最后一个节点),删除之，如下图
没有破坏B+树的性质,删除完毕
l 例2：
删除下图3阶B+树的关键字97
首先找到97所在叶节点(最后一个节点),删除之，然后修改该节点的父辈的键字为91(只有删除树中最大数时要做此步)，如下图
l 例3：
删除下图3阶B+树的关键字51
首先找到51所在节点(第三个节点),删除之，如下图
破坏了B+树的性质,从该节点的兄弟节点(左边或右边)借节点44，并修改相应键值,判断没有破坏B+树,完毕，如下图
l 例4：
删除下图3阶B+树的关键字59
首先找到59所在叶节点(第三个节点),删除之，如下图
破坏B+树性质,尝试借节点,无效(因为左兄弟节点被借也会破坏B+树性质),合并第二第三叶节点并调整键值，如下图
完毕。
l 例5：
删除下图3阶B+树的关键字63
首先找到63所在叶节点(第四个节点),删除之，如下图
合并第四五叶节点并调整键值，如下图
发现第二层的第二个节点不满足B+树性质,从第二层的第一个节点借59,并调整键值，如下图
完毕
总结B+ 树和B- 树插入删除：
1. 都是在叶子结点进行插入，如果不破坏结构的话，直接插入；如果破坏结构，关键字多于规定时，进行结点拆分，在[m/2](向上取整)处拆分，拆分后再调整父节点到符合规定的状态
2. B+树删除都是在叶子结点进行，如果不破坏结构的话，直接删除；如果破坏结构，关键字少于规定时，先观察左右兄弟结点，若结点关键字数大于[m/2](即大于最小值)，则可以借结点过来，并调整父节点到规定结构；若左右兄弟结点不可借，则进行结点合并，再修改父节点到规定结构。
B-树杀出可能在叶子结点，可以在非叶子结点，在叶子结点和B+树类似，不满足结构时需要借关键字或合并结点；在非叶子结点时，需要找到他的相邻关键字进行替换，在删除叶子节点上的相邻关键字（上一篇B-树删除操作里说过）
