B树的定义

假设B树的度为t（t>=2），则B树满足如下要求：（参考算法导论）

（1）  每个非根节点至少包含t-1个关键字，t个指向子节点的指针；至多包含2t-1个关键字，2t个指向子女的指针（叶子节点的子女为空）。

（2）  节点的所有key按非降序存放，假设节点的关键字分别为K[1], K[2] … K[n], 指向子女的指针分别为P[1], P[2]…P[n+1]，其中n为节点关键字的个数。则有：

P[1] <= K[1] <= P[2] <= K[2] …..<= K[n] <= P[n+1]   // 这里P[n]也指其指向的关键字

（3）  若根节点非空，则根节点至少包含两个子女；

（4）  所有的叶子节点都在同一层。

B树的搜索，search（root, target）

从root出发，对每个节点，找到大于或等于target关键字中最小的K[i]，如果K[i]与target相等，则查找成功；否则在P[i]中递归搜索target，直到到达叶子节点，如仍未找到则说明关键字不在B树中，查找失败。

B树的插入，insert(root, target)

B树的插入需要沿着搜索的路径从root一直到叶节点，根据B树的规则，每个节点的关键字个数在[t-1, 2t-1]之间，故当target要加入到某个叶子时，如果该叶子节点已经有2t-1个关键字，则再加入target就违反了B树的定义，这时就需要对该叶子节点进行分裂，将叶子以中间节点为界，分成两个包含t-1个关键字的子节点，同时把中间节点提升到该叶子的父节点中，如果这样使得父节点的关键字个数超过2t-1，则要继续向上分裂，直到根节点，根节点的分裂会使得树加高一层。

上面的过程需要回溯，那么能否从根下降到叶节点后不回溯就能完成节点的插入呢？答案是肯定的，核心思想就是未雨绸缪，在下降的过程中，一旦遇到已满的节点（关键字个数为2t-1），就就对该节点进行分裂，这样就保证在叶子节点需要分裂时，其父节点一定是非满的，从而不需要再向上回溯。

B树的删除，delete(root, target)

在删除B树节点时，为了避免回溯，当遇到需要合并的节点时就立即执行合并，B树的删除算法如下：从root向叶子节点按照search规律遍历：

（1）  如果target在叶节点x中，则直接从x中删除target，情况（2）和（3）会保证当再叶子节点找到target时，肯定能借节点或合并成功而不会引起父节点的关键字个数少于t-1。

（2）  如果target在分支节点x中：

（a）  如果x的左分支节点y至少包含t个关键字，则找出y的最右的关键字prev，并替换target，并在y中递归删除prev。

（b）  如果x的右分支节点z至少包含t个关键字，则找出z的最左的关键字next，并替换target，并在z中递归删除next。

（c）  否则，如果y和z都只有t-1个关键字，则将targe与z合并到y中，使得y有2t-1个关键字，再从y中递归删除target。

（3）  如果关键字不在分支节点x中，则必然在x的某个分支节点p[i]中，如果p[i]节点只有t-1个关键字。

（a）  如果p[i-1]拥有至少t个关键字，则将x的某个关键字降至p[i]中，将p[i-1]的最大节点上升至x中。

（b）  如果p[i+1]拥有至少t个关键字，则将x个某个关键字降至p[i]中，将p[i+1]的最小关键字上升至x个。

（c）  如果p[i-1]与p[i+1]都拥有t-1个关键字，则将p[i]与其中一个兄弟合并，将x的一个关键字降至合并的节点中，成为中间关键字。

B树的实现

数据结构

1. /**
2.  * @brief the degree of btree
3.  * key per node: [M–1, 2M–1]
4.  * child per node: [M, 2M]
5.  */
6. #define M 2   // M为B树的度
8. typedef struct btree_node {
9.     int k[2*M–1];
10.     struct btree_node *p[2*M];
11.     int num;
12.     bool is_leaf;
13. } btree_node;

创建B树

1. btree_node *btree_node_new()
2. {
3.     btree_node *node = (btree_node *)malloc(sizeof(btree_node));
4.     if(NULL == node) {
5.         return NULL;
6.     }
8.     for(int i = 0; i < 2 * M –1; i++) {  // 初始化key
9.         node–>k[i] = 0;
10.     }
12.     for(int i = 0; i < 2 * M; i++) {     // 初始化pointer
13.         node–>p[i] = NULL;
14.     }
16.     node–>num = 0;
17.     node–>is_leaf = true;  // 默认为叶子
18. }
20. btree_node *btree_create()
21. {
22.     btree_node *node = btree_node_new();
23.     if(NULL == node) {
24.         return NULL;
25.     }
27.     return node;
28. }

插入节点

1. // 当child满时，将其进行分裂，child = parent->p[pos]
2. int btree_split_child(btree_node *parent, int pos, btree_node *child)
3. {
4.     // 创建新的节点
5.     btree_node *new_child = btree_node_new();
6.     if(NULL == new_child) {
7.         return –1;
8.     }

      
     // 新节点的is_leaf与child相同，key的个数为M-1

1.     new_child–>is_leaf = child–>is_leaf;
2.     new_child–>num = M – 1;
3.     
4.     // 将child后半部分的key拷贝给新节点
5.     for(int i = 0; i < M – 1; i++) {
6.         new_child–>k[i] = child–>k[i+M];
7.     }

      
     // 如果child不是叶子，还需要把指针拷过去，指针比节点多1

1.     if(false == new_child–>is_leaf) {
2.         for(int i = 0; i < M; i++) {
3.             new_child–>p[i] = child–>p[i+M];
4.         }
5.     }
7.     child–>num = M – 1;

      
     // child的中间节点需要插入parent的pos处，更新parent的key和pointer

1.     for(int i = parent–>num; i > pos; i––) {
2.         parent–>p[i+1] = parent–>p[i];
3.     }
4.     parent–>p[pos+1] = new_child;
6.     for(int i = parent–>num – 1; i >= pos; i––) {
7.         parent–>k[i+1] = parent–>k[i];
8.     }
9.     parent–>k[pos] = child–>k[M–1];
10.     
11.     parent–>num += 1;
12. }

 
 // 执行该操作时，node->num < 2M-1 

1. void btree_insert_nonfull(btree_node *node, int target)
2. {
3.     if(1 == node–>is_leaf) { // 如果在叶子中找到，直接删除
4.         int pos = node–>num;
5.         while(pos >= 1 && target < node–>k[pos–1]) {
6.             node–>k[pos] = node–>k[pos–1];
7.             pos––;
8.         }
10.         node–>k[pos] = target;
11.         node–>num += 1;
13.     } else {   // 沿着查找路径下降
14.         int pos = node–>num;
15.         while(pos > 0 && target < node–>k[pos–1]) {
16.             pos––;
17.         }
19.         if(2 * M –1 == node–>p[pos]–>num) {
20.             btree_split_child(node, pos, node–>p[pos]); // 如果路径上有满节点则分裂
21.             if(target > node–>k[pos]) {
22.                 pos++;
23.             }
24.         }
25.         
26.         btree_insert_nonfull(node–>p[pos], target);
27.     }
28. }
29. 
    

 //插入入口

1. btree_node* btree_insert(btree_node *root, int target)
2. {
3.     if(NULL == root) {
4.         return NULL;
5.     }
6.     
7.     // 对根节点的特殊处理，如果根是满的，唯一使得树增高的情形
8.     // 先申请一个新的
9.     if(2 * M – 1 == root–>num) {
10.         btree_node *node = btree_node_new();
11.         if(NULL == node) {
12.             return root;
13.         }
14.         
15.         node–>is_leaf = 0;
16.         node–>p[0] = root;
17.         btree_split_child(node, 0, root);
18.         btree_insert_nonfull(node, target);
19.         return node;
20.     } else {
21.         btree_insert_nonfull(root, target); 
22.         return root;
23.     }
24. }

删除节点

1. // 将y，root->k[pos], z合并到y节点，并释放z节点，y,z各有M-1个节点
2. void btree_merge_child(btree_node *root, int pos, btree_node *y, btree_node *z)
3. {
4.     // 将z中节点拷贝到y的后半部分
5.     y–>num = 2 * M – 1;
6.     for(int i = M; i < 2 * M – 1; i++) {
7.         y–>k[i] = z–>k[i–M];
8.     }
9.     y–>k[M–1] = root–>k[pos]; // k[pos]下降为y的中间节点
10.     
11.     // 如果z非叶子，需要拷贝pointer
12.     if(false == z–>is_leaf) {
13.         for(int i = M; i < 2 * M; i++) {
14.             y–>p[i] = z–>p[i–M];
15.         }
16.     }

     
      // k[pos]下降到y中，更新key和pointer

1.     for(int j = pos + 1; j < root–>num; j++) {
2.         root–>k[j–1] = root–>k[j];
3.         root–>p[j] = root–>p[j+1];
4.     }
6.     root–>num –= 1;
7.     free(z);
8. }

  
 // 删除入口

1. btree_node *btree_delete(btree_node *root, int target)
2. {
3.     // 特殊处理，当根只有两个子女，切两个子女的关键字个数都为M-1时，合并根与两个子女
4.     // 这是唯一能降低树高的情形
5.     if(1 == root–>num) {
6.         btree_node *y = root–>p[0];
7.         btree_node *z = root–>p[1];
8.         if(NULL != y && NULL != z &&
9.                 M – 1 == y–>num && M – 1 == z–>num) {
10.             btree_merge_child(root, 0, y, z);
11.             free(root);
12.             btree_delete_nonone(y, target);
13.             return y;
14.         } else {
15.             btree_delete_nonone(root, target);
16.             return root;
17.         }
18.     } else {
19.         btree_delete_nonone(root, target);    
20.         return root;
21.     }
22. }

  
 // root至少有个t个关键字，保证不会回溯

1. void btree_delete_nonone(btree_node *root, int target)
2. {
3.     if(true == root–>is_leaf) {  // 如果在叶子节点，直接删除
4.         int i = 0;
5.         while(i < root–>num && target > root–>k[i]) i++;
6.         if(target == root–>k[i]) {
7.             for(int j = i + 1; j < 2 * M – 1; j++) {
8.                 root–>k[j–1] = root–>k[j];
9.             }
10.             root–>num –= 1;
11.         } else {
12.             printf(“target not found\n”);
13.         }
14.     } else {  // 在分支中
15.         int i = 0;
16.         btree_node *y = NULL, *z = NULL;
17.         while(i < root–>num && target > root–>k[i]) i++; 
18.         if(i < root–>num && target == root–>k[i]) { // 如果在分支节点找到target
19.             y = root–>p[i];
20.             z = root–>p[i+1];
21.             if(y–>num > M – 1) {  
22. // 如果左分支关键字多于M-1，则找到左分支的最右节点prev，替换target
23.                 // 并在左分支中递归删除prev,情况2（a)
24.                 int pre = btree_search_predecessor(y);
25.                 root–>k[i] = pre;
26.                 btree_delete_nonone(y, pre);
27.             } else if(z–>num > M – 1) {
28.                 // 如果右分支关键字多于M-1，则找到右分支的最左节点next，替换target
29.                 // 并在右分支中递归删除next,情况2(b)
30.                 int next = btree_search_successor(z);
31.                 root–>k[i] = next;
32.                 btree_delete_nonone(z, next);
33.             } else {
34.                 // 两个分支节点数都为M-1，则合并至y，并在y中递归删除target,情况2(c)
35.                 btree_merge_child(root, i, y, z);
36.                 btree_delete(y, target);
37.             }
38.         } else {   // 在分支没有找到，肯定在分支的子节点中
39.             y = root–>p[i];
40.             if(i < root–>num) {
41.                 z = root–>p[i+1];
42.             }
43.             btree_node *p = NULL;
44.             if(i > 0) {
45.                 p = root–>p[i–1];
46.             }
48.             if(y–>num == M – 1) {
49.                 if(i > 0 && p–>num > M – 1) {
50.                     // 左邻接节点关键字个数大于M-1
51.                     btree_shift_to_right_child(root, i–1, p, y); //情况3(a)
52.                 } else if(i < root–>num && z–>num > M – 1) {
53.                     // 右邻接节点关键字个数大于M-1
54.                     btree_shift_to_left_child(root, i, y, z); // 情况3(b)
55.                 } else if(i > 0) {
56.                     btree_merge_child(root, i–1, p, y);  // 情况3（c)
57.                     y = p;
58.                 } else {
59.                     btree_merge_child(root, i, y, z); // 情况3(c)
60.                 }
61.                 btree_delete_nonone(y, target);
62.             } else {
63.                 btree_delete_nonone(y, target);
64.             }
65.         }
67.     }
68. }
69. 
    

 //寻找rightmost，以root为根的最大关键字

1. int btree_search_predecessor(btree_node *root)
2. {
3.     btree_node *y = root;
4.     while(false == y–>is_leaf) {
5.         y = y–>p[y–>num];
6.     }
7.     return y–>k[y–>num–1];
8. }
9. 
   

 // 寻找leftmost，以root为根的最小关键字

1. int btree_search_successor(btree_node *root) 
2. {
3.     btree_node *z = root;
4.     while(false == z–>is_leaf) {
5.         z = z–>p[0];
6.     }
7.     return z–>k[0];
8. }

 // z向y借节点，将root->k[pos]下降至z，将y的最大关键字上升至root的pos处

1. void btree_shift_to_right_child(btree_node *root, int pos, 
2.         btree_node *y, btree_node *z)
3. {
4.     z–>num += 1;
5.     for(int i = z–>num –1; i > 0; i––) {
6.         z–>k[i] = z–>k[i–1];
7.     }
8.     z–>k[0]= root–>k[pos];
9.     root–>k[pos] = y–>k[y–>num–1];
11.     if(false == z–>is_leaf) {
12.         for(int i = z–>num; i > 0; i––) {
13.             z–>p[i] = z–>p[i–1];
14.         }
15.         z–>p[0] = y–>p[y–>num];
16.     }
18.     y–>num –= 1; 
19. }

 // y向借节点，将root->k[pos]下降至y，将z的最小关键字上升至root的pos处

1. void btree_shift_to_left_child(btree_node *root, int pos,
2.         btree_node *y, btree_node *z)
3. {
4.     y–>num += 1;
5.     y–>k[y–>num–1] = root–>k[pos];
6.     root–>k[pos] = z–>k[0];
8.     for(int j = 1; j < z–>num; j++) {
9.         z–>k[j–1] = z–>k[j];
10.     }
12.     if(false == z–>is_leaf) {
13.         y–>p[y–>num] = z–>p[0];
14.         for(int j = 1; j <= z–>num; j++) {
15.             z–>p[j–1] = z–>p[j];
16.         }
17.     } 
19.     z–>num –= 1;
20. }

插入与删除过程（图片为层序遍历的结果）

插入序列[18, 31, 12, 10, 15, 48, 45, 47, 50, 52, 23, 30, 20]

删除序列[15, 18, 23, 30, 31, 52, 50, 48, 47, 45, 20, 12, 10]

B+树

与B树不同的时，B+树的关键字都存储在叶子节点，分支节点均为索引，在实现上大致与B树类似，在几个细节稍有不同。

（1） 数据结构中增加prev，next指针，用于将叶子节点串成有序双向链表。

（2） 在节点分裂的时候，如果分裂的节点为叶子，则需要把中间节点保留在左(或右)边的分支上，并且需要更新prev和next。

（3） 在节点合的时候，如果合并的节点为叶子，不需要把跟节点下降为中间节点，并且需要更新prev和next。

（4） 在向邻接节点借节点时，借来的关键字并不是父节点的关键字，而是邻接点的关键字，并根据实际情况更新父节点的索引。

本文为转载，原文链接为：http://blog.chinaunix.net/uid-20196318-id-3030529.html