Trie树与位操作

使用Trie树解决数字位操作问题。

Trie树

Trie树可以将keys/numbers/strings等信息保存在树中。
Trie树由一系列结点组成,每个结点存储一个字符/位。从而我们可以插入新的strings/numbers。
以trie树存储strings为例:
《Trie树与位操作》

但现在我们要用trie树解决数字问题,特别是二进制位。问题如下:

Problem1: Given an array of integers, we have to find two elements whose XOR is maximum.

Solution:
假设有一种数据结构可以满足两种查询操作:
+1.插入一个数值X
+2.给定Y,找到目前已经插入的所有数据中与Y相异或(XOR)结果的最大值
如果有这样的数据结构,那就依次插入数据,查询最大值,从而获得最终的最大值。
trie树就是我们将要使用的数据结构。
首先,看看如何在trie树中插入元素。
《Trie树与位操作》

所以,只需要记录数字需要插入的路径,不必管已经存在的路径。
插入长度为N的key的时间复杂度O(N),O(N)就是log2(MAX),MAX是要插入trie树中的最大数,因为一个数中最多有log2(MAX)个二进制位。
按照这种方式,我们将所有数字都存入trie树中。
然后,对于查询操作:
假设将Y表示为二进制:b1,b2,…,bn。从b1开始,为了使得异或XOR结果最大,那就是尽量使得该位异或XOR操作后为1.
所以,如果当前位为0,就需要找到1,反之亦是如此。
在trie树中,我们按照需要的二进制位向下找,如果要找的位值不存在,那就走另外一边。
从i=1到n走完所有位,就得到最大的XOR结果值了。
《Trie树与位操作》

查询操作的时间复杂度也为log2(MAX)

**Problem2:**Given an array of integers, find the subarray with maximum XOR.

Solution:
假设F(L,R)是从L到R的子数组的异或XOR值。
这里我们用到一个公式:F(L,R)=F(1,R) XOR F(1,L-1)。然后呢?
假设具有最大异或XOR结果值的子数组在位置i结尾。现在就需要最大化F(L, i)。即,对于所有的L<=i,计算F(1, i) XOR F(1, L-1)的最大值。
设想,对于所有L<=i,把F(1, L-1)插入trie树,这就是上一个problem1了。

ans = 0
pre = 0
Trie.insert(0)
for i = 1 to N :
pre = pre XOR a[i]
Trie.insert(pre)
ans = max(ans, Trie.query(pre))
print ans

**Problem3:**Given an array of positive integers you have to print the number of subarrays whose XOR is less than K.

Solution:
和前面两题类似。
对于从i=1到N的每一个下标,统计以i位置结尾的子数组中满足条件的子数组个数。
“`
ans = 0
p = 0
for i = 1 to N:
q = p XOR a[i]
ans += Trie.query(q, k)
Trie.insert(q)
p = q

query(q, k)返回树中与q相异或的结果小于k的数字的数目。  
从最高位开始比较q和k的对应二进制位。  
假设当前要比较的对应二进制位为p和q,当p=1,q=1时,  
  ![trie4.png](https://img-blog.csdn.net/20160519211713430)
类似地,可以算出其他三种情况下的个数,(q=0, p=0),(q=0, p=1)以及(q=1, p=0)  
所以,我们需要调整一下树的结构,结点中还要保存从左节点可达的叶结点数目以及从右结点可达的叶结点数目。否则,需要反复遍历整棵树,时间复杂度就会提高。  
更新这二者的信息可以在向树中插入数字的时候完成。 
最后,讨论下实现。  
在C/CPP中实现trie树,可以使用结点和其左右孩子指针。递归实现。  

insert(root, num, level):
if level == -1: return root
x = level’th bit of num
if x == 1:
if root->right is NULL: create root->right
else: insert(root->right, num, level-1)
else :
if root->left is NULL: create root->left
else: insert(root->left, num, level-1)
“`
对于查询,只需递归遍历树。

子问题:Given a group of n non-empty strings. During the game two players build the word together, initially the word is empty. The players move in turns. On his step player must add a single letter in the end of the word, the resulting word must be prefix of at least one string from the group. A player loses if he cannot move.

需要我们找到哪一个玩家(1/2)有必赢策略。
一个思路就是为所有的string构建一颗trie树,因为trie树存储了所有前缀信息。
对每个结点计算玩家1是否拥有必赢策略。这个计算可以递归实现。
对于结点v,考虑结点v的每个孩子u,如果玩家1在结点u处有必输策略,那么玩家1在结点v就有一个必赢策略。
比如,假设有“abc”,”abd”,”acd”,最终的trie树如下:
《Trie树与位操作》
所有的叶结点都有必赢策略。

    原文作者:Trie树
    原文地址: https://blog.csdn.net/ymrfzr/article/details/51457166
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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