在书上看了平衡二叉树的代码后，发现前人的智慧真是无限。但是因为一次性给出的最完美的代码让人有时候看不太懂…
后来经过仔细推敲，才慢慢发现了其中的奥秘。一开始并不知道关于平衡二叉树的平衡因子BF是怎么修改的，后来才发现关于平衡二叉树的最重要的一句话：在构建平衡二叉树的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则找出最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整关系。
这句话意味着：只要破坏了平衡性，就马上修改使得二叉树重新平衡，意思就是只要修改了最小不平衡树就可以使得整个二叉树重新平衡.
下面借用书上的代码进行解释说明，说明在代码后面
[cpp] view plaincopy
1. #include "stdio.h"
2. #include "stdlib.h"
3. #include "io.h"
4. #include "math.h"
5. #include "time.h"
6.
7. #define OK 1
8. #define ERROR 0
9. #define TRUE 1
10. #define FALSE 0
11. #define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
12.
13. typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
14.
15.
16. /* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
17. typedef struct BiTNode /* 结点结构 */
18. {
19. int data; /* 结点数据 */
20. int bf; /* 结点的平衡因子 */
21. struct BiTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指针 */
22. } BiTNode, *BiTree;
23.
24.
25. /* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理， */
26. /* 处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根结点 */
27. void R_Rotate(BiTree *P)
28. {
29. BiTree L;
30. L=(*P)->lchild; /* L指向P的左子树根结点 */
31. (*P)->lchild=L->rchild; /* L的右子树挂接为P的左子树 */
32. L->rchild=(*P);
33. *P=L; /* P指向新的根结点 */
34. }
35.
36. /* 对以P为根的二叉排序树作左旋处理， */
37. /* 处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点0 */
38. void L_Rotate(BiTree *P)
39. {
40. BiTree R;
41. R=(*P)->rchild; /* R指向P的右子树根结点 */
42. (*P)->rchild=R->lchild; /* R的左子树挂接为P的右子树 */
43. R->lchild=(*P);
44. *P=R; /* P指向新的根结点 */
45. }
46.
47. #define LH +1 /* 左高 */
48. #define EH 0 /* 等高 */
49. #define RH -1 /* 右高 */
50.
51. /* 对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */
52. /* 本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
53. void LeftBalance(BiTree *T)
54. {
55. BiTree L,Lr;
56. L=(*T)->lchild; /* L指向T的左子树根结点 */
57. switch(L->bf)
58. { /* 检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理 */
59. case LH: /* 新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理 */
60. (*T)->bf=L->bf=EH;
61. R_Rotate(T);
62. break;
63. case RH: /* 新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理 */
64. Lr=L->rchild; /* Lr指向T的左孩子的右子树根 */
65. switch(Lr->bf)
66. { /* 修改T及其左孩子的平衡因子 */
67. case LH: (*T)->bf=RH;
68. L->bf=EH;
69. break;
70. case EH: (*T)->bf=L->bf=EH;
71. break;
72. case RH: (*T)->bf=EH;
73. L->bf=LH;
74. break;
75. }
76. Lr->bf=EH;
77. L_Rotate(&(*T)->lchild); /* 对T的左子树作左旋平衡处理 */
78. R_Rotate(T); /* 对T作右旋平衡处理 */
79. }
80. }
81.
82. /* 对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理， */
83. /* 本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
84. void RightBalance(BiTree *T)
85. {
86. BiTree R,Rl;
87. R=(*T)->rchild; /* R指向T的右子树根结点 */
88. switch(R->bf)
89. { /* 检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理 */
90. case RH: /* 新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理 */
91. (*T)->bf=R->bf=EH;
92. L_Rotate(T);
93. break;
94. case LH: /* 新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */
95. Rl=R->lchild; /* Rl指向T的右孩子的左子树根 */
96. switch(Rl->bf)
97. { /* 修改T及其右孩子的平衡因子 */
98. case RH: (*T)->bf=LH;
99. R->bf=EH;
100. break;
101. case EH: (*T)->bf=R->bf=EH;
102. break;
103. case LH: (*T)->bf=EH;
104. R->bf=RH;
105. break;
106. }
107. Rl->bf=EH;
108. R_Rotate(&(*T)->rchild); /* 对T的右子树作右旋平衡处理 */
109. L_Rotate(T); /* 对T作左旋平衡处理 */
110. }
111. }
112.
113. /* 若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个 */
114. /* 数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */
115. /* 失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否。 */
116. Status InsertAVL(BiTree *T,int e,Status *taller)
117. {
118. if(!*T)
119. { /* 插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE */
120. *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
121. (*T)->data=e; (*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL; (*T)->bf=EH;
122. *taller=TRUE;
123. }
124. else
125. {
126. if (e==(*T)->data)
127. { /* 树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */
128. *taller=FALSE; return FALSE;
129. }
130. if (e<(*T)->data)
131. { /* 应继续在T的左子树中进行搜索 */
132. if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) /* 未插入 */
133. return FALSE;
134. if(*taller) /* 已插入到T的左子树中且左子树“长高” */
135. switch((*T)->bf) /* 检查T的平衡度 */
136. {
137. case LH: /* 原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理 */
138. LeftBalance(T); *taller=FALSE; break;
139. case EH: /* 原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高 */
140. (*T)->bf=LH; *taller=TRUE; break;
141. case RH: /* 原本右子树比左子树高，现左、右子树等高 */
142. (*T)->bf=EH; *taller=FALSE; break;
143. }
144. }
145. else
146. { /* 应继续在T的右子树中进行搜索 */
147. if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) /* 未插入 */
148. return FALSE;
149. if(*taller) /* 已插入到T的右子树且右子树“长高” */
150. switch((*T)->bf) /* 检查T的平衡度 */
151. {
152. case LH: /* 原本左子树比右子树高，现左、右子树等高 */
153. (*T)->bf=EH; *taller=FALSE; break;
154. case EH: /* 原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高 */
155. (*T)->bf=RH; *taller=TRUE; break;
156. case RH: /* 原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理 */
157. RightBalance(T); *taller=FALSE; break;
158. }
159. }
160. }
161. return TRUE;
162. }
163.
164. int main(void)
165. {
166. int i;
167. int a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8};
168. BiTree T=NULL;
169. Status taller;
170. for(i=0;i<10;i++)
171. {
172. InsertAVL(&T,a[i],&taller);
173. }
174. printf("本样例建议断点跟踪查看平衡二叉树结构");
175. return 0;
176. }
1.关于insertAVL方法，需要说明的是，它用的是递归的思想，一层一层从下往父类修改平衡因子，而不用计算每个结点的BF，仅仅是根据左子树与右子树的高度差。因为是只要一破坏了平衡就修改，所以平衡因子的数只能是 -2、-1、0、1、2这几个数的取值。所以只要通过插入前的高度差与插入后的位置（左子树还是右子树）就可以确定现在的平衡因子。如果破坏了平衡性，就调用**Balance函数，调整平衡，并置taller为false，因为已经调整了平衡，高度并未发生改变，所以在这个结点以上的所有父亲都不用修改其平衡因子。
2.关于Balance方法，以leftBalance为例进行说明
①首先，之所以调用leftBalance是因为在插入前左子树的深度就比右子树的深度大一，现在插入的位置又是在左子树，所以左子树的深度比右子树的深度大于2，也就是最小不平衡树的顶点的平衡因子为2
②因为插入的是最小不平衡树的顶点T的左子树上L，所以需要比较顶点T 与 其左子树L 的平衡因子的符号，如果一致，就做简单的右旋转；如果不一致就先对其左子树做左旋转，再对最小不平衡树T做右旋转。——也就是说当左子树 L 的平衡因子为1时（LH）就进行简单的右旋转，为-1（RH）时就先对子树L做左旋转再对最小不平衡树T做右旋转
③关于先对左子树做左旋转，再对最小不平衡树做右旋转的平衡因子的改变。因为涉及对做子树L的左旋转，所以L的右子树Lr会受到影响,所以会根据Lr的平衡因子的不同而会有不同的改变
a.当Lr 的平衡因子为LH(相当于1)时，T的平衡因子变为-1，L的平衡因子变为0
b..当Lr的平衡因子为EH(相当于0）时，T的平衡因子变为0，L的平衡因子变为0
c..当Lr的平衡因子RH(相当于-1)时，T的平衡因子变为0，L的平衡因子变为1
可能会想：这只是特殊情况，其实并不是。因为每次旋转，受到影响的只有那么几个点，其他点的位置会改变，可是是以整体的方式变动，所以其他点的平衡因子并不会改变。rightBalance与leftBalance形成对称，所以就不画图啦
