1 概述
对于一棵二分搜索树，如果我们的数据是顺序添加到二分搜索树中，它就会退化成一个链表。我们如何解决这个问题呢，我们需要在现有的二分搜索树的基础上添加一些机制，使得我们二分搜索树能维持平衡二叉树这样的一个性质，而AVL就是一种最为经典的平衡二叉树。
什么样的树才是平衡二叉树呢？
满二叉数：除了叶子节点，其余节点都有左右子树，所以是一棵平衡二叉树
而最大堆中所说的完全二叉树：因为它叶子节点中最大深度值与最小深度值相差不超过1，也是平衡二叉树。、
我们在AVL中所维护的这种平衡二叉树，它的条件更加宽松些：对于任意一个节点，左子树和右子树的高度差不能超过1
现在我们按照二分搜索树添加元素的方法往上图中的树中添加2和7两个元素，可得下图
我们再来计算各个节点的高度和平衡因子
可以看到，根节点12和它的左孩子节点8的平衡因子都为2，所以此时就不是平衡二叉树了。
2. 添加节点（4种情况）
我们要注意，AVL树只是对二分搜索树的改进，它本质上还是一个二分搜索树，所以我们只需要在二分搜索树代码的基础上进行修改就可以了。二分搜索树的代码在我github上：GitHub链接
由于我们只有新添加一个节点，才会导致以前的平衡二叉树可能变为不平衡，而不平衡节点的出现只可能出现在插入节点（叶子节点）的父辈节点上。所以我们维护平衡的时机应该是我们加入节点之后，我们沿着这个节点向上回溯来维持这个平衡性，由于我们添加节点的操作时递归进行的，所以我们来维护也是很容易的。
维护时的情况有四种，LL,RR,LR,RL
1) LL——右旋转（插入的元素在不平衡节点的左侧的左侧）
我们来看个例子：
上面这个图是个平衡二叉树，现在往这个平衡二叉树添加一个节点2：
可以看到，此时节点8左子树高度为3，右子树高度为1，所以节点8的平衡因子为2，所以节点8打破了平衡二叉树的性质，所以我们需要对节点8这个位置进行一个平衡的维护，那么我们怎么来维护呢？
上面的情况我们可以抽象成下图中的左边，我们分两步，第一步：将y连接在x节点的右孩子上；第二部：将T3连接在y的左孩子上；这样就变成下图右边的样子了，这样既满足了二分搜索树的性质，又满足了平衡二叉树的性质
2) RR——左旋转（插入的元素在不平衡节点的右侧的右侧）
上面两种情况的代码：
// 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
}
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
// 更新height
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right));
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
// 平衡维护
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0)
return rightRotate(node);
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0)
return leftRotate(node);
return node;
}
// 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋转 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
// 向右旋转过程
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
// 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋转 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋转过程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}3) LR——（插入的元素在不平衡节点的左侧的右侧）
这种情况如下图：
我们看下上图的左边，如果我们现在使用右旋转，则12变成8的左孩子，10变成8的右孩子，违反了二分搜索树的原则。所以我们将上面的情况抽象：
此时，我们先对x进行左旋转
可以看到，此时已经转换成LL的情况了，然后我们再按第一节右旋转的方法对y节点进行右旋转就可以啦
4) RL——（插入的元素在不平衡节点的右侧的左侧）
先对x进行右旋转
然后再对y进行左旋转就可以了
对于代码方面，第三四种情况直接服用左旋转和右旋转的代码就行啦
注意绿色的条件要搞清楚
3. 删除节点
原理和添加节点一样，直接看代码吧：
// 从二分搜索树中删除键为key的节点
public V remove(K key){
Node node = getNode(root, key);
if(node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key){
if( node == null )
return null;
Node retNode;
if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
node.left = remove(node.left , key);
// return node;
retNode = node;
}
else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
node.right = remove(node.right, key);
// return node;
retNode = node;
}
else{ // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
// return rightNode;
retNode = rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
else if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
// return leftNode;
retNode = leftNode;
}
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
else{
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
//successor.right = removeMin(node.right);
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
// return successor;
retNode = successor;
}
}
if(retNode == null)
return null;
// 更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
// 平衡维护
// LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
return rightRotate(retNode);
// RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0)
return leftRotate(retNode);
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
return retNode;
}
