最近写了平衡二叉排序树代码，在这里对自己的理解做一下总结。
下面的文字，更多的是把我自己的遇到的理解上的问题和思路讲清楚，可能不能让你一下就看明白，这是我的问题。网上其实有很多写的很好的文章，我也是学他们的，然后通过写文章来考研自己是不是真的理解平衡二叉树，如果你在看完文章有任何疑惑，请留言。
下面几张图片是从这里拿过来的：http://blog.sina.com.cn/s/blog_616e189f0100qgcm.html，这位老师讲的很好。
首先描述一些基本的概念：
1.二叉排序树的特点：在一棵二叉排序树中，对任何一个结点来说，如果不为null，那么该结点就大于它左子树的全部结点，并小于它右子树的所有结点。
创建一棵二叉排序树，通常是给定一组序列，比如[23，12，5，2，29，9]，来创建树。但是当给定的序列顺序不同的时候，所创建出来的树的形态就不一样，有的比较“平稳”，有的则显的很“陡峭”。然而对于不同的二叉树形态，其查询的平均时间消耗是有差异的。可以证明，当二叉排序树中任何一个结点的左子树的层数减去右子树的层数为1，-1，或0时，其平均查询时间是最少的。于是优化二叉排序树就引入了平衡的处理——平衡二叉排序树（下面称BSTree）。
2.BSTree中每个结点的BF值（平衡因子）：指的是该结点的左子树的层数减去右子树的层数。
由于平衡二叉排序树在每插入一个结点时，都有义务保证插入结点后，整棵树还是符合平衡条件的，所以我们必须相信在你插入结点前，眼前的这棵树它就是平衡的。
我先用一种自上而下的思路来和大家一起感性的认识BSTree中插入结点的过程。因为是树的原因，所以在思考的时候一不小心就递归进去了，这问题变的很凌乱。所以在这部分内容的时候请大家放松，不用多想，只要你觉得下面分析的每一个步骤有道理就行了：
图说明：t结点的值不会和树中任何一个结点相等，也就是说它是可插入的，不然就没必要讨论了。
现在假如在你脑子里就有了一棵BSTree（具体什么样子随你想象，但必须符合平衡条件）。上图中的A结点并不一定就是最上面的根结点（Root），它可以代表一棵BSTree中任何一个结点，强调这一点是想使得问题得到归纳，不然容易失去方向。而A结点的BF值只有3种情况0，1，-1（反正不可能是2）。
旁边还有一个等待插入的结点t,，它可能比A大，也可能比A小，但是t到底插入A的左边还是插入右边都无所谓，其最后的操作都是一样的——这就是对称之美。所以我们只需要理解左边的情况，右边的也就迎刃而解，在一次强调！只需要理解“一半”！因为你的思维极有可能在看下面的文字的时候，时不时的会“跑偏”，这种“跑偏”是绝对浪费力气的，都说了是一样的。
我现在假设t将插入到A的左子树（下面称ALeftTree）当中。
那么ALeftTree的层数有且仅有2种变化：
1.层数不变 不会影响A结点的BF值
理解：A的右子树层数明显不变，现在ALeftTree的层数也不变，那么A的BF当然不变了。我还想多说一句，当在ALeftTree中插入一个结点后，它的层次没有变化，那么在ALeftTree中，必然有这么一个结点因为t的插入，它的BF变成了0。为什么呢？因为这是一个二叉树，呵呵。
2.层数 +1 这个时候你想想看，A的右子树的层数明显不变，而ALeftTree层数+1了，那么A的BF也必然要+1。之前说了，在插入t之前，A的BF有3中可能的情况，所以接下来分别讨论：
一）原 A:BF=0
现 A:BF=1
你看，当A的BF由0->1，以A结点为根的子树的层数是不是多了一层呢？这个时候我就又要去计算A的父结点的BF值了，其实这种情况和现在的ALeftTree一样。好了！Stop！不要在想下去了。
二）原 A:BF=-1
现 A:BF=0
A的BF=-1，表示A的“左腿”（左子树）比“右腿”（右子树）短，现在由于t的插入，使得A的2条腿一样长，那么A当然不会影响它父亲的BF了。所以当遇到这种情况，我就能肯定的说t结点的插入没有使树失衡，该结点插入完成。
三）原 A:BF=1
现 A:BF=2
这个时候该树就失衡了，而因为t结点最后的落点不同，在进行平衡处理的时候也产生了不同的方法。看过其他此类文章的同学知道我接下来要说那4种蛋疼的旋转了。又一次强调！现在只讨论t结点落入ALeftTree的情况，所以有“左左”和“左右”这2种情况（还有2种是“右右”和“右左”）。
左左的意思是：t结点落入了A结点的左孩子的左子树。
左右的意思是：t结点落入了A结点的左孩子的右子树。
这是处理“左左”的旋转情况，这图我相信你能看懂，但是我想解释一下，我当时不懂的问题：在插入结点前，也就是左上角这棵树中，为什么A的左子树的根结点的BF值就是0呢？它不能是1或者-1吗？因为我觉得，L(B)的层数可能是h-1啊！
其实这个疑惑马上的就能被推翻，因为之前提到了一个前提，说由于t的插入，A的左子树多了一层。如果在插入前B的BF值就等于1或者-1，那么现在又多了一层，那B就变成2或-2了呀！（其实我还没有说明“最小不平衡子树”的概念。这个概念保证A是第一个不平衡结点，也就是BF=2或-2的结点）你如果还要继续想下去的话，恭喜你又掉进递归的洞洞里面去了，因为现在就在讨论A结点为2的情况。其他的理解应该没有问题。
那么新结点凭什么就插在B的左子树里面呢，不能插在了右边吗？可以啊，看下图。
同样的，在这幅图里面，为什么左上角这棵，其c结点的BF也是0呢？我想说解释和前面的一样。那你可能为问：照你这么说，递归下去，那A的左子树简直就是一棵完全二叉树啊，这和我的想象不一样啊！
我想说，你先在这里mark一下，到后面提到的最小不平衡子树的概念时，在回来看，这些都不是问题！
其实看到这里，我希望你至少对“旋转”这个动作不反感了。至于图片里面有很多h之类的，先不用管，只要知道是怎么旋转的就行。
下面我在用一种自下而上的思路来理解t插入的过程，以及各结点的BF是怎样变化的过程。
该图左边的树是平衡的，然后插入了39。当插入一个结点的时候，它只可能影响它所经过插入路径上的结点（如上图的黄色线段），其他的结点的BF是不变的。
我们看到，在这条路径上，可能有一个失衡点，也可能有多个，但是我们只要把从下往上以最小的失衡点为根的子树变成平衡，那么就能保证整棵树都变成平衡的，那么这是为什么呢？
我们以上图为例，设43为A结点。
先说清楚一点，对树中任何一个结点（左右子树不能为null），管它是不是平衡点，旋转后的效果就是一边减少一层，另一边加一层。
所以对于A这样的失衡结点，进行旋转后，该子树的层数和插入39之前的层数是一样的，所以整棵树都回到平衡了。
另外结点的BF怎么变，直接看文章开头的那个连接，已经讲的很清楚了。
