Javascript数据结构之禅:平衡二叉树(Balanced Binary Tree, AVL Tree)

Javascript数据结构之禅:平衡二叉树(Balanced Binary Tree, AVL Tree)

项目源码地址:
github.com/KristenXu/JavascriptDatastructures/blob/master/AVLTree.js

1 .基本概念

平衡二叉树(Balanced Binary Tree),又叫AVL树。它的原理并不难弄懂,我们来实现一下吧。下面我们来看看:

1.1 AVL树是什么?

AVL树本质上还是一棵二叉搜索树(因此读者可以看到我后面的代码是继承自二叉搜索树的),它的特点是:

  1. 本身首先是一棵二叉搜索树。
  2. 带有平衡条件:每个结点的左右子树的高度之差的绝对值(平衡因子)最多为1。

例如:
《Javascript数据结构之禅:平衡二叉树(Balanced Binary Tree, AVL Tree)》

上图中,左边的是AVL树,而右边的不是。因为左边的树的每个结点的左右子树的高度之差的绝对值都最多为1,而右边的树由于结点6没有子树,导致根结点5的平衡因子为2。

1.2 为什么要用AVL树?

有人也许要问:为什么要有AVL树呢?它有什么作用呢?
我们先来看看二叉搜索树吧(因为AVL树本质上是一棵二叉搜索树),假设有这么一种极端的情况:二叉搜索树的结点为1、2、3、4、5,也就是:
《Javascript数据结构之禅:平衡二叉树(Balanced Binary Tree, AVL Tree)》
聪明的你是不是发现什么了呢?呵呵,显而易见——这棵二叉搜索树其实等同于一个链表了,也就是说,它在查找上的优势已经全无了——在这种情况下,查找一个结点的时间复杂度是O(N)!
好,那么假如是AVL树(别忘了AVL树还是二叉搜索树),则会是:
《Javascript数据结构之禅:平衡二叉树(Balanced Binary Tree, AVL Tree)》
可以看出,AVL树的查找平均时间复杂度要比二叉搜索树低——它是O(logN)。也就是说,在大量的随机数据中AVL树的表现要好得多。

2 旋转

假设有一个结点的平衡因子为2(在AVL树中,最大就是2,因为结点是一个一个地插入到树中的,一旦出现不平衡的状态就会立即进行调整,因此平衡因子最大不可能超过2),那么就需要进行调整。由于任意一个结点最多只有两个儿子,所以当高度不平衡时,只可能是以下四种情况造成的:

  1. 对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入。
  2. 对该结点的左儿子的右子树进行了一次插入。
  3. 对该结点的右儿子的左子树进行了一次插入。
  4. 对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入。

情况1和4是关于该点的镜像对称,同样,情况2和3也是一对镜像对称。因此,理论上只有两种情况,当然了,从编程的角度来看还是四种情况。
第一种情况是插入发生在“外边”的情况(即左-左的情况或右-右的情况),该情况可以通过对树的一次单旋转来完成调整。第二种情况是插入发生在“内部”的情况(即左-右的情况或右-左的情况),该情况要通过稍微复杂些的双旋转来处理。

2.1 单旋转

情况1:对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入。
《Javascript数据结构之禅:平衡二叉树(Balanced Binary Tree, AVL Tree)》
左边为调整前得节点,我们可以看出k2的左右子树已不再满足AVL平衡条件,调整后的为右图。
我们可以看出,解决办法是将x上移一层,并将z下移一层,由于在原树中k2 > k1,所以k2成为k1的右子树,而y是小于k2的,所以成为k2的左子树。
为了设计算法,我们这里来看一个更易理解的:插入的是节点“6”
《Javascript数据结构之禅:平衡二叉树(Balanced Binary Tree, AVL Tree)》

算法设计:由于是情形1对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入,该节点是“8”,首先我们不考虑其父节点的情况,因为我们创建节点是递归创建的,可以不用考虑其父节点与其的连接,这在后面递归创建的时候会说到,由于“8”的右孩子将不会发生变化,但是其左孩子设为“7”的右孩子,将7的右孩子设为“8”及其子树,然后返回“7”节点的指针。

实现代码:
//情形1

AVLTree.prototype.rotateLL = function() {
    var nodeBefore = this.node;
    var elementsBefore = this.elements;
    var rightBefore = this.right;
    this.node = this.left.node;
    this.elements = this.left.elements;
    this.right = this.left;
    this.left = this.left.left;
    this.right.left = this.right.right;
    this.right.right = rightBefore;
    this.right.node = nodeBefore;
    this.right.elements = elementsBefore;
    this.right.updateInNewLocation();
    this.updateInNewLocation();
};

情况4:对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入。
《Javascript数据结构之禅:平衡二叉树(Balanced Binary Tree, AVL Tree)》
左边为调整前得节点,我们可以看出k1的左右子树已不再满足AVL平衡条件,调整后的为右图。
我们可以看出,解决办法是将z上移一层,并将x下移一层,由于在原树中k2 > k1,所以k1成为k2的左子树,而y是大于k1的,所以成为k1的右子树。
为了设计算法,我们这里来看一个更易理解的:插入的是节点“6”
《Javascript数据结构之禅:平衡二叉树(Balanced Binary Tree, AVL Tree)》

算法设计:由于是情形1对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入,该节点为“4”,我们同第一种情形类似。

实现代码:
//情形4

AVLTree.prototype.rotateRR = function() {
    var nodeBefore = this.node;
    var elementsBefore = this.elements;
    var leftBefore = this.left;
    this.node = this.right.node;
    this.elements = this.right.elements;
    this.left = this.right;
    this.right = this.right.right;
    this.left.right = this.left.left;
    this.left.left = leftBefore;
    this.left.node = nodeBefore;
    this.left.elements = elementsBefore;
    this.left.updateInNewLocation();
    this.updateInNewLocation();
};

2.2 双旋转

情况2:对该结点的左儿子的右子树进行了一次插入。
这种情况是单旋转调整不回来的,如下图:
《Javascript数据结构之禅:平衡二叉树(Balanced Binary Tree, AVL Tree)》
图(1)
左–右双旋转如下:
《Javascript数据结构之禅:平衡二叉树(Balanced Binary Tree, AVL Tree)》
图(2)

这里我们将图(1)的Y子树看成如图(2),以k2为子树根节点的树,我们将其子树分成比D低,这里我我先对k3的左子树进行一次情形四的右旋转,然后在进行一次情形1的左旋转,详细步骤如下:(红色框里面的即是要进行单旋转的)
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情况3:对该结点的右儿子的左子树进行了一次插入。
右—左双旋转如下:
《Javascript数据结构之禅:平衡二叉树(Balanced Binary Tree, AVL Tree)》
我们先对k1的右子树进行一次左旋转(情形1,然后再对k1进行一次右旋转(情形4)。
实现代码:
//情形2与情形3

AVLTree.prototype.balance = function() {
    var ldepth = this.left  == null ? 0 : this.left.depth;
    var rdepth = this.right == null ? 0 : this.right.depth;

    if (ldepth > rdepth + 1) {
        // LR or LL rotation
        var lldepth = this.left.left  == null ? 0 : this.left.left.depth;
        var lrdepth = this.left.right == null ? 0 : this.left.right.depth;

        if (lldepth < lrdepth) {
            // LR rotation consists of a RR rotation of the left child
            this.left.rotateRR();
            // plus a LL rotation of this node, which happens anyway
        }
        this.rotateLL();
    } else if (ldepth + 1 < rdepth) {
        // RR or RL rorarion
        var rrdepth = this.right.right == null ? 0 : this.right.right.depth;
        var rldepth = this.right.left  == null ? 0 : this.right.left.depth;

        if (rldepth > rrdepth) {
            // RR rotation consists of a LL rotation of the right child
            this.right.rotateLL();
            // plus a RR rotation of this node, which happens anyway
        }
        this.rotateRR();
    }
};

3 插入操作

插入的核心思路是通过递归找到合适的位置,插入新结点,然后看新结点是否平衡(平衡因子是否为2),如果不平衡的话,就分成三种大情况以及两种小情况:
1. 在结点的左儿子(X < T->item)
o 在左儿子的左子树 (X < T->l-> item),“外边”,要做单旋转。
o 在左儿子的右子树 (X > T->l-> item),“内部”,要做双旋转。
2. 在结点的右儿子(X > T->item)
o 在右儿子的左子树(X < T->r-> item),“内部”,要做双旋转。
o 在右儿子的右子树(X > T->r-> item),“外边”,要做单旋转。
3. (X == T->item) ,对该节点的计数进行更新。
当进行了旋转之后,必定会有结点的“父结点”是需要更新的,例如:
《Javascript数据结构之禅:平衡二叉树(Balanced Binary Tree, AVL Tree)》
上图是调整前的,下图是调整后的:
《Javascript数据结构之禅:平衡二叉树(Balanced Binary Tree, AVL Tree)》
可以看出,根结点2不平衡,是由于它的右儿子的右子树插入了新的结点6造成的。因此,这属于“外边”的情况,要进行一次单旋转。于是我们就把结点4调整上来作为根结点,再把结点2作为4的左儿子,最后把结点2的右儿子修改为原来的结点4的左儿子。
实现代码:

AVLTree.prototype.add = function(n) {
    var o = this.compare(n, this.node);
    if (o == 0) {
        this.elements.push(n);
        return false;
    }

    var ret = false;
    if (o == -1) {
        if (this.left == null) {
            this.left = new AVLTree(n, this.attr);
            ret = true;
        } else {
            ret = this.left.add(n);
            if (ret) {
                this.balance();
            }
        }
    } else if (o == 1) {
        if (this.right == null) {
            this.right = new AVLTree(n, this.attr);
            ret = true;
        } else {
            ret = this.right.add(n);
            if (ret) {
                this.balance();
            }
        }
    }

    if (ret) {
        this.getDepthFromChildren();
    }
    return ret;
};

项目源码地址:
github.com/KristenXu/JavascriptDatastructures/blob/master/AVLTree.js

    原文作者:平衡二叉树
    原文地址: https://blog.csdn.net/xc578579786/article/details/60139201
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