平衡二叉树

题目详情:

平衡二叉树的定义是递归定义的：

（1） 单个节点是平衡二叉树

（2）平衡二叉树的左右子树分别都是平衡二叉树

（3）平衡二叉树的左右子树高度差不超过1。

求n个节点有m个叶子节点的平衡二叉树个数 (0<m <= n<=20)。

例如：

n = 1，m = 1，输出：1；

n = 2，m = 1，输出：2；

n = 2，m = 2，输出：0。

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首先要明白： 1.层为level的平衡二叉树其左右子树的情况：         （1）左右子树都是层为level-1的平衡二叉树；           (2)左子树是层为level-1的平衡二叉树，右子树是层为level-2的平衡二叉树；
          (3)左子树是层为level-2的平衡二叉树，右子树是层为level-1的平衡二叉树；

2.设层为level的平衡二叉树的最多结点数nodeMax，最少结点数nodeMin，最多叶子结点数leafMax和最少叶子结点数leafMin,且根据二叉树的递归定义，这四个量都是随level递增的，那么得出如下公式(下标代表层数)：         nodeMin[level]=nodeMin[level-1]+nodeMin[level-2]+1;         nodeMax[level]=2* nodeMax[level-1]+1;         leafMin[level]=leafMin[level-1]+leafMin[level-2];
        leafMax[level]=2*leafMin[level-1];        且初始条件是：nodeMin[0]=nodeMax[0]=leafMin[0]=leafMax[0]=0;                                    nodeMin[1]=nodeMax[1]=leafMin[1]=leafMax[1]=1;        计算的结果如下：                   
        需要说明的是：层为level的二叉树节点数为n，叶子结点数为m，         那么nodeMin[level]=<n<=nodeMax[level] , leafMin[level]=<m<=leafMax[level]是此二叉树是层为level的平衡二叉树的必要非充分条件。         只有当n==m==level==1时才是充要条件，这也是3中其作为递归出口的原因。          3.设函数treeNum(n,m,level)返回的是结点数为n，叶子结点数为m，层数为level的平衡二叉树的数目，treeNum(n,m,level)如下：       

int treeNum(int n,int m,int level){
    if(n==m==level==1 or 0)return 1;//0代表了空树
    if(level<=1)return 0;
    int res=0;
    for(1中的三种情况)
        for(左子树的结点数leftNode<=n-1){
		for(左子树的叶子结点数leftLevel<=m){
			如果左右子树的结点和叶结点符合条件
			res+=treeNum(leftNode,leftLeaf,leftLevel)*treeNum(rightNode,rightLeaf,rightLevel)			
		}
    return res;
}

在递归的过程中，保证左右子树的结点数和叶子几点数满足上述四个统计量，就保证了往下递的过程某层上存在某些种形式的平衡二叉树，而找到这些平衡二叉树是在向上归的过程中实现的。 题目中只给定了n和m，那么我们首先需要通过2中的四个数组来看n和m能构成层为多少的平衡二叉树，并分别统计数量进行相加，如下：

int res=0;
for(level=1;level<size;++level)
	if(n,m满足level层)
		res+=treeNum(n,m,level);

当然需要将中间结果treeNum(n,m,level)用map或者hash_map保存下来防止重复计算。

4.代码见：
http://blog.csdn.net/xhu_eternalcc/article/details/18519753

5.可能是英雄会这道题的C++提交有问题，提交提示用例错误，但是将上面代码生成的数组用C提交，却通过，估计C++提交问题下周会解决。

本文参考了http://blog.csdn.net/mamihong/article/details/18304651