二叉搜索树

1.定义：

二叉查找树（Binary Search Tree），（又：二叉搜索树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

2.原理

二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似，通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程（类似中序遍历）。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高，O(log(n)).

3.常用操作及其c语言实现

查找操作：

若b是空树，则搜索失败，否则：

若x等于b的根结点的数据域之值，则查找成功；否则：

若x小于b的根结点的数据域之值，则搜索左子树；否则：

查找右子树。

插入操作：

向一个二叉排序树b中插入一个结点s的算法，过程为：

若b是空树，则将s所指结点作为根结点插入，否则：

若s->data等于b的根结点的数据域之值，则返回，否则：

若s->data小于b的根结点的数据域之值，则把s所指结点插入到左子树中，否则：

把s所指结点插入到右子树中。

补充知识：

1. 在二叉搜索树中插入一个新结点，总是插入到最下层，作为新的叶子结点。

删除算法：

在二叉排序树删去一个结点，分三种情况讨论：

若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。

若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树或右子树即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。

若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f的左子树，*s为*f左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱（或直接后继）。

BinTree Insert( BinTree BST, ElementType X )
{
    if( !BST ){ /* 若原树为空，生成并返回一个结点的二叉搜索树 */
        BST = (BinTree)malloc(sizeof(struct TNode));
        BST->Data = X;
        BST->Left = BST->Right = NULL;
    }
    else { /* 开始找要插入元素的位置 */
        if( X < BST->Data )
            BST->Left = Insert( BST->Left, X );   /*递归插入左子树*/
        else  if( X > BST->Data )
            BST->Right = Insert( BST->Right, X ); /*递归插入右子树*/
        /* else X已经存在，什么都不做 */
    }
    return BST;
}
 
BinTree Delete( BinTree BST, ElementType X ) 
{ 
    Position Tmp; 
 
    if( !BST ) 
        printf("要删除的元素未找到"); 
    else {
        if( X < BST->Data ) 
            BST->Left = Delete( BST->Left, X );   /* 从左子树递归删除 */
        else if( X > BST->Data ) 
            BST->Right = Delete( BST->Right, X ); /* 从右子树递归删除 */
        else { /* BST就是要删除的结点 */
            /* 如果被删除结点有左右两个子结点 */ 
            if( BST->Left && BST->Right ) {
                /* 从右子树中找最小的元素填充删除结点 */
                Tmp = FindMin( BST->Right );
                BST->Data = Tmp->Data;
                /* 从右子树中删除最小元素 */
                BST->Right = Delete( BST->Right, BST->Data );
            }
            else { /* 被删除结点有一个或无子结点 */
                Tmp = BST; 
                if( !BST->Left )       /* 只有右孩子或无子结点 */
                    BST = BST->Right; 
                else                   /* 只有左孩子 */
                    BST = BST->Left;
                free( Tmp );
            }
        }
    }
    return BST;
}