排序算法系列之二叉查找树
基本概念
二叉查找树（Binary Search Tree），或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：
- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
- 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
- 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
序列：1 3 4 6 7 8 10 13 14 序列：2 3 4 6 7 9 13 15 17 18 20
通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列，一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列，构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点，在进行插入操作时，不必移动其它结点，只需改动某个结点的指针，由空变为非空即可。
二叉查找树查找算法思想
在二叉查找树b中查找x的过程为：
- 若b是空树，则搜索失败，否则：
- 若x等于b的根节点的数据域之值，则查找成功；否则：
- 若x小于b的根节点的数据域之值，则搜索左子树；否则：
- 查找右子树。
举例图：
二叉查找树插入算法思想
向一个二叉查找树b中插入一个节点s的算法，过程为：
- 若b是空树，则将s所指结点作为根节点插入，否则：
- 若s->data等于b的根节点的数据域之值，则返回，否则：
- 若s->data小于b的根节点的数据域之值，则把s所指节点插入到左子树中，否则：
- 把s所指节点插入到右子树中。
举例图：
二叉查找树删除算法思想
在二叉排序树删去一个结点，分三种情况讨论：
- 若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。
- 若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树（当*p是左子树）或右子树（当*p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。
- 若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f的左/右(依*p是*f的左子树还是右子树而定)子树，*s为*p左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱（或直接后继）。
举例图：删除节点值 6。方便记忆：节点6的右孩子直接替换删除节点，节点6的左孩子挂在节点6的右孩子上。
二叉查找树性能分析
每个结点的
为该结点的层次数。最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉排序树蜕变为单支树，树的深度为
，其平均查找长度为
（和顺序查找相同），最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和
成正比。
二叉查找树C语言实现
代码来自http://chiyx.iteye.com/blog/1628947
c语言.h代码
/*file:biTree.h*/
#ifndef CHIYX_BITREE
#define CHIYX_BITREE
#ifndef NULL
#define NULL 0
#endif
typedef int DataType;
//二叉树的节点结构
typedef struct BiTreeNode {
DataType data;
struct BiTreeNode *parent;
struct BiTreeNode *left;
struct BiTreeNode *right;
}BiTreeNode, *BiTree;
//查找：返回第一个等于data域等于key的节点，不存在返回NULL
BiTreeNode *search(BiTree *biTree, DataType key);
//返回二叉树的最小节点,空树返回NULL
BiTreeNode *minImum(BiTree *biTree);
//返回二叉树的最大节点,空树返回NULL
BiTreeNode *maxImum(BiTree *biTree);
//返回节点x的后继节点,不存在后继（节点x为最大节点）返回NULL
BiTreeNode *successor(BiTreeNode *x);
//返回节点x的前驱节点，不存在前驱（节点x为最小节点）返回NULL
BiTreeNode *predecessor(BiTreeNode *x);
//将值data插入到二叉树中（生成一个值为data的节点）
void insertNode(BiTree *biTree, DataType data);
//删除一个值为data的节点
void deleteNode(BiTree *biTree, DataType data);
//中序遍历二叉树
void inorderTraversal(BiTree *biTree, void (*visitor)(BiTreeNode *node));
#endif
C语言实现代码：/*file:biTree.c*/
#include <stdlib.h>
#include "biTree.h"
//查找：返回第一个等于data域等于key的节点，不存在返回NULL
BiTreeNode *search(BiTree *biTree, DataType key) {
BiTreeNode *curNode = *biTree;
while (curNode != NULL && curNode->data != key) {
if (key < curNode->data) {
curNode = curNode->left;
} else {
curNode = curNode->right;
}
}
return curNode;
}
//返回二叉树的最小节点,空树返回NULL
BiTreeNode *minImum(BiTree *biTree) {
BiTreeNode *curNode = *biTree;
while (curNode != NULL && curNode->left != NULL) {
curNode = curNode->left;
}
return curNode;
}
//返回二叉树的最大节点,空树返回NULL
BiTreeNode *maxImum(BiTree *biTree) {
BiTreeNode *curNode = *biTree;
while (curNode != NULL && curNode->right != NULL) {
curNode = curNode->right;
}
return curNode;
}
//返回节点x的后继节点,不存在后继（节点x为最大节点）返回NULL
BiTreeNode *successor(BiTreeNode *x) {
if (x == NULL) return NULL;
//存在右子树，则后继节点为其右子树中最小的节点
if (x != NULL && x->right != NULL) {
return minImum(&(x->right));
}
while (x->parent != NULL && x->parent->right == x) {
x = x->parent;
}
return x->parent; //错误版本为 x， 此处应该返回父结点
}
//返回节点x的前驱节点，不存在前驱（节点x为最小节点）返回NULL
BiTreeNode *predecessor(BiTreeNode *x) {
if (x == NULL) return NULL;
//存在左子树，则后继节点为其左子树中最大的节点
if (x != NULL && x->left != NULL) {
return maxImum(&(x->left));
}
while (x->parent != NULL && x->parent->left == x) {
x = x->parent;
}
return x->parent; //错误版本为 x， 此处应该返回父结点
}
void insertNode(BiTree *biTree, DataType data) {
//创建节点
BiTreeNode *targetNode;
targetNode = (BiTreeNode *)malloc(sizeof(BiTreeNode));
//没有足够内存
if (targetNode == NULL) return;
targetNode->data = data;
targetNode->parent = NULL;
targetNode->left = NULL;
targetNode->right = NULL;
BiTreeNode *p, *y;
p = *biTree;
y = NULL;
while (p != NULL ) {
y = p;
if (targetNode->data < p->data) {
p = p->left;
} else {
p = p->right;
}
}
//空树，将新节点置为树根
if (y == NULL) {
*biTree = targetNode;
} else {
if (targetNode->data < y->data) {
y->left = targetNode;
} else {
y->right = targetNode;
}
}
targetNode->parent = y;
}
//删除一个值为data的节点
void deleteNode(BiTree *biTree, DataType data) {
//查找待删除的节点
BiTreeNode *targetNode, *x, *y;
targetNode = search(biTree, data);
if (targetNode == NULL) return;
//找出真正的删除节点，如果目标节点最多只有一个子树，则其为真正删除的节点
//否则其后继节点（最多只有一个子树，想想为什么）为真正删除的节点，然后将后继节点的值赋给目标节点
if (targetNode->left == NULL || targetNode->right == NULL) {
y = targetNode;
} else {
y = successor(targetNode);
}
if (y->left != NULL) {
x = y->left;
} else {
x = y->right;
}
if (x != NULL) {
x->parent = y->parent;
}
//如果y是根节点, 则根节点变为x
if (y->parent == NULL) {
*biTree = x;
} else {
if (y->parent->right == y) {
y->parent->right = x;
} else {
y->parent->left = x;
}
}
if (y != targetNode) {
targetNode->data = y->data;
}
//释放y占有的空间
free(y);
}
//中序遍历二叉树
void inorderTraversal(BiTree *biTree, void (*visitor)(BiTreeNode *node)) {
BiTreeNode *curNode;
curNode = *biTree;
if (curNode != NULL) {
//遍历左子树
inorderTraversal(&(curNode->left), visitor);
//访问节点
visitor(curNode);
//遍历右子树
inorderTraversal(&(curNode->right), visitor);
}
}
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include "biTree.h" #define N 10 void printNode(BiTreeNode *node); int main(int argc, char *argv[]) { BiTreeNode *root; int i; root = NULL; int data[N] = {10, 23, 11, 98, 111, 87, 34, 11, 33, 8}; for (i = 0; i < N; i++) { insertNode(&root, data[i]); } printf("before delete:\n"); inorderTraversal(&root, printNode); printf("\n"); deleteNode(&root, 11); deleteNode(&root, 8); printf("after delete:\n"); inorderTraversal(&root, printNode); printf("\n"); exit(0); } void printNode(BiTreeNode *node) { printf("%d\t", node->data); }二叉查找树优化
虽然二叉排序树的最坏效率是O(n),但它支持动态查询,且有很多改进版的二叉排序树可以使树高为O(logn):
- Size Balanced Tree(SBT)
- AVL树
- 红黑树（红黑树系列文章）
- Treap(Tree+Heap)
这些均可以使查找树的高度为
。
后续再更！
