浅谈停机问题

最大公约数

如果要计算90和21的最大公约数,根据欧几里德的定理,等同于求21和6的最大公约数,进一步等同于求6和3的最大公约数,经过几步转化,最终我们得到了结果:3。

这样一系列“有限”的步骤的集合,我们称之为算法。假设我们把求最大公约数算法的名字就叫做GCD,当我们说GCD作用于90和21可以停机的时候,转成大白话就是:GCD(90, 21)不会陷入死循环,并且返回值是3。事实上,GCD对于“任何合法”的输入总是能停机的。

那么可不可以进一步问:有没有这样一个算法,对于任意一个给定的程序和输入,可以判断出这个程序是否会停机[[1]](https://en.wikipedia.org/wiki…

证明部分

假设我们有一个程序,就叫will-stop?,它可以针对任意的程序algorithm和输入input,返回是否可以停机,写成伪代码就是:

bool will-stop?(algorithm, input) {
  // return true or false
}

接着我们来设计一个叫evil的程序,它接受一个程序algorithm,在内部,它调用will-stop?并根据返回做一个相反的动作。写成伪代码也就是:

void evil(algorithm) {
  if (will-stop?(algorithm, algorithm)) {
    // 当返回true,就进行一个不能停机的死循环
    while(true)
  } else {
    // 当返回false,就立即执行一个停机动作
    return
  }
}

接下来我们尝试用来判断一下evil(evil)这个函数调用是否会停机。也就是:will-stop?(evil, evil)输出的到底是什么?

为了方便表述,我们同时也用evil1和evil2指代上面的evil,也就是说evil、evil1、evil2 这3者是等价的。

下面我们用will-stop?(evil1, evil2)代替之前的will-stop?(evil, evil)。

假设evil1(evil2)能停机,也就是will-stop?(evil1, evil2)返回的是true,我们把evil2代入到evil1的函数体中,也就说evil1内部的will-stop?(evil2, evil2)返回的是false,也就是说它告诉我们evil2(evil2)不会停机。

别忘了evil1(evil2)和evil2(evil2)代表的其实都是evil(evil),所以will-stop?的结果自相矛盾了,那么反过来呢?

假设evil1(evil2)不能停机,则evil1内部的will-stop?(evil2, evil2)返回true,也就是说它告诉我们evil2(evil2)停机了。

写在后面

证明的部分我参考了Daniel Friedman[[2]](https://www.douban.com/douban…以及刘未鹏[[3]](http://mindhacks.cn/2006/10/1…的实现。同时,做了一些表述上的优化,并补充了一些背景知识,使它看起来不单是一个冷冰冰的数学问题,过程中我参考了《计算进化史》[[4]](https://www.douban.com/douban…

参考资料

[1] Halting problem
[2] 《The Little Schemer – 4th Edition》
[3] 康托尔、哥德尔、图灵——永恒的金色对角线(rev#2)
[4] 《计算进化史:改变数学的命运》

    原文作者:姜哲
    原文地址: https://segmentfault.com/a/1190000020254831
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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