二叉查找树
二叉查找树(Binary Search Tree),也称二叉搜索树、有序二叉树(ordered binary tree),排序二叉树(orted binary tree),是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树:
- 若任意节点的左子树不空,则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值;
- 若任意节点的右子树不空,则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值;
- 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树;
- 没有键值相等的节点
二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低,均为O(log n)。二叉查找树是基础性数据结构,用于构建更为抽象的数据结构,如集合、multiset、关联数组等。
常用操作
定义树的节点如下:
class Node:
def __init__(self, val):
self.val = val
self.left = None
self.right = None
1. 查找
在二叉搜索树 b b 中查找 x x 的过程为:
- 若b是空树,则搜索失败,否则:
- 若x等于b的根节点的数据域之值,则查找成功;否则:
- 若x小于b的根节点的数据域之值,则递归搜索左子树;否则:
- 递归查找右子树
使用python实现如下:
def search(root, val):
if root == None:
return False, None
elif val > root.val:
return search(root.right, val)
elif val < root.val:
return search(root.left, val)
else:
return True, root
2. 插入
向一个二叉搜索树 b b 中插入一个节点 s s 的算法,过程为:
- 若b是空树,则将s所指结点作为根节点插入,否则:
- 若s.val等于b的根节点的数据域之值,则返回,否则:
- 若s.val小于b的根节点的数据域之值,则把s所指节点插入到左子树中,否则:
- 把s所指节点插入到右子树中(新插入节点总是叶子节点)
def insert(self, root, node):
"""insert inplace"""
if root == None:
root = node
return
if node.val == root.val:
return
elif node.val > root.val:
self.insert(root.right, node)
else:
self.insert(root.left, node)
3. 删除
二叉搜索树的删除操作分三种情况讨论:
1. 如果待删除的节点是叶子节点,那么可以立即被删除,如下图所示:
例:删除数据为16的节点,是叶子节点,可以直接删除
2. 如果有一个子节点,要将下一个子节点上移到当前节点,即替换之
例:删除数据为25的节点,它下面有唯一一个子节点35, 上移到替换之
3. 如果有两个子节点,则将其右子树的最小数据代替此节点的数据,并将其右子树的最小数据删除,如下图所示
例:删除节点数据为5的节点,找到被删除节点右子树的最小节点。需要一个临时变量successor,将11节点下面的子节点进行查询,找到右子树最小节点7,并把右子树最小节点7替换被删除节点,维持二叉树结构。如下图
class solution:
def deleteNode(self, root, key):
""" :type root: TreeNode :type key: int :rtype: TreeNode """
if root == None:
return None
if key < root.val:
root.left = self.deleteNode(root.left, key)
elif key > root.val:
root.right = self.deleteNode(root.right, key)
else:
if root.left == None:
return root.right
elif root.right == None:
return root.left
else:
min_node = self.findMinNode(root.right)
root.val = min_node.val
root.right = self.deleteNode(root.right, root.val)
return root
def findMinNode(self, node):
while node.left:
node = node.left
return node
4. 遍历
可以采用前序,中序,后序来遍历该二叉搜索树,或者使用广度优先搜索的方式。这里用中序遍历来实现,可以保证按从小到大的顺序打印。
def traverse_binary_tree(root):
if root is None:
return
traverse_binary_tree(root.left)
print(root.value)
traverse_binary_tree(root.right)
5. 构造一颗二叉查找树
用一组数值建造一棵二叉查找树的同时,也把这组数值进行了排序。其最差时间复杂度为 O(n2) O ( n 2 ) 。例如,若该组数值经是有序的(从小到大),则建造出来的二叉查找树的所有节点,都没有左子树
def build_binary_tree(values):
tree = None
for v in values:
tree = insert(tree, Node(v))
return tree
性能分析
查找:最佳情况 Olog(n) O l o g ( n ) , 最坏情况 O(n) O ( n )
插入:最佳情况 Olog(n) O l o g ( n ) , 最坏情况 O(n) O ( n )
删除:最佳情况 Olog(n) O l o g ( n ) , 最坏情况 O(n) O ( n )