二叉树是一种很重要的非线性数据结构,它是树结构的一种重要的类型(它不是树结构的特殊情况),其特征是每个节点最多有两个子树。
二叉树的特点:
- 二叉树每个结点最多有2个子结点,树则无此限制;
- 二叉树中结点的子树分成左子树和右子树,即使某结点只有一棵子树,也要指明该子树是左子树,还是右子树,就是说二叉树是有序的;
- 二叉树可以是空的(或者说二叉树可以为空集),而树却决不能是空的(或者说是空集)。
(二叉树的具体性质就没必要写)
- 二叉树每个结点最多有2个子结点,树则无此限制;
满二叉树:
一棵非空高度为k(k>=0)的满二叉树,是有2^(k+1)–1个结点的二叉树。
满二叉树而言,除叶结点外,其它结点的度均为2.
满二叉树的特点:
- 叶结点都在第k层上;
- 每个分支结点都有两个子结点;
- 叶结点的个数等于非叶结点个数加1。
完全二叉树:
一棵有
n
个结点、高为
k
的二叉树
T
,一棵高为
k
的
满二叉树
T
*
,用正整数按层次顺序分别编号
T
和
T
*
的所有结点,如果
T
之所有结点恰好对应于
T
*
的前
n
个结点,则称
T
为
完全二叉树
。层次顺序:按从上至下,即从第0至第k层,每层由左到右的次序。
(标准的定义有点晦涩难懂啊!)
我自己的通俗点的理解是:若设二叉树的深度为h,除第 h 层外,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数,第 h 层所有的结点都连续集中在最左边,这就是完全二叉树。
完全二叉树是由
满二叉树
而引出来的。对于深度为K的,有N个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。
是若一棵二叉树至多只有最下面的两层上的结点的度数可以小于2,并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上,则此二叉树成为完全二叉树。
完全二叉树的特点:
- 树中只有最下面两层结点的度可以小于2;
- 树中最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置上(满二叉树意义上);
- 树中叶结点只能在层数最大的两层上出现,即存在一个非负整数k使得树中每个叶结点或在第k层或第k+ 1层上;
- 对树中所有结点,按层次顺序,用自然数从1开始编号,仅仅编号最大的非叶结点可以没有右孩子,其余非叶结点都有两个孩子结点。
- 树中所有结点对应于高度为K的满二叉树编号由0-n的那些结点。
总结:满二叉树和 完全二叉树是二叉树的两种特殊情形。
最后在补充一点,深度固定的完全二叉树的节点个数不唯一。深度为k的完全二叉树的结点最少为2^(k-1),最多为2^k-1,分别对应深度为k-1的满二叉树加一个结点和深度为k的满二叉树。