二叉树
二叉树：二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构；
是n(n>=0)个结点的有限集合，它或者是空树（n=0），或者是由一个根结点及两颗互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树所组成。

完全二叉树

完全二叉树：除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点；
树中所含的n个节点和满二叉树中编号为1至n的节点一一对应

满二叉树

满二叉树：除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点；满二叉树是一种特殊的完全二叉树；

二叉排序树（二叉搜索树）
       1.
所有非叶子结点至多拥有两个儿子（
Left
和
Right
）；
       2.
所有结点存储一个关键字；
       3.
非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；
二叉排序树：二叉树中，每个节点都不比它左子树的任意元素小，而且不比它的右子树的任意元素大。又叫二叉搜索树。

平衡二叉树

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是二叉查找树的一个进化体，也是第一个引入平衡概念的二叉树。1962年，G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis发明了这棵树，所以它又叫AVL树。 定义：平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树:   （1）左右子树深度之差的绝对值不超过1;   （2）左右子树仍然为平衡二叉树.

平衡二叉树要求对于每一个节点来说，它的左右子树的高度之差不能超过1，如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1，就要进行节点之间的旋转，将二叉树重新维持在一个平衡状态。

这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。



RBT 红黑树 AVL是严格平衡树，因此在增加或者删除节点的时候，根据不同情况，旋转的次数比红黑树要多； 红黑是弱平衡的，用非严格的平衡来换取增删节点时候旋转次数的降低； 所以简单说，搜索的次数远远大于插入和删除，那么选择AVL树，如果搜索，插入删除次数几乎差不多，应该选择RB树。 红黑树上每个结点内含五个域，color，key，left，right，p。如果相应的指针域没有，则设为NIL。 一般的，红黑树，满足以下性质，即只有满足以下全部性质的树，我们才称之为红黑树： 1）每个结点要么是红的，要么是黑的。 2）根结点是黑的。 3）每个叶结点，即空结点（NIL）是黑的。 4）如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。 5）对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。 下图所示，即是一颗红黑树：

Trie树既可用于一般的字典搜索，也可用于索引查找。
每个节点相当于DFA的一个状态，终止状态为查找结束。有序查找的过程相当于状态的不断转换
对于给定的一个字符串a1,a2,a3,…,an.则
采用TRIE树搜索经过n次搜索即可完成一次查找。不过好像还是没有B树的搜索效率高，B树搜索算法复杂度为logt(n+1/2).当t趋向大，搜索效率变得高效。怪不得DB2的访问内存设置为虚拟内存的一个PAGE大小，而且帧切换频率降低，无需经常的PAGE切换。
B树
 即二叉搜索树：
 1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；
 2.所有结点存储一个关键字；
 3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；
 如：
 B树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；
 如果B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变B树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；
 如：
 但B树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：
 右边也是一个B树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引；所以，使用B树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题； 
 实际使用的B树都是在原B树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持B树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在B树中插入和删除结点的策略；

B-
树
是一种平衡多路搜索树（并不是二叉的）：        1.
定义任意非叶子结点最多只有M
个儿子；且M>2
；        2.
根结点的儿子数为[2, M]
；        3.
除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]
；        4.
每个结点存放至少M/2-1
（取上整）和至多M-1
个关键字；（至少2
个关键字）        5.
非叶子结点的关键字个数=
指向儿子的指针个数-1
；        6.
非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]
；且K[i] < K[i+1]
；        7.
非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]
；其中P[1]
指向关键字小于K[1]
的
子树，P[M]
指向关键字大于K[M-1]
的子树，其它P[i]
指向关键字属于(K[i-1], K[i])
的子树；        8.
所有叶子结点位于同一层；
如：（
M=3
）
       B-
树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果
命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为
空，或已经是叶子结点； B-
树的特性：        1.
关键字集合分布在整颗树中；        2.
任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；        3.
搜索有可能在非叶子结点结束；        4.
其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；        5.
自动层次控制；
由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2
个儿子，确保了结点的至少
利用率，其最底搜索性能为：

其中，M
为设定的非叶子结点最多子树个数，N
为关键字总数；
所以B-
树的性能总是等价于二分查找（与M
值无关），也就没有B
树平衡的问题；
由于M/2
的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占 M/2
的结点；删除结点时，需将两个不足M/2
的兄弟结点合并；
B+
树        B+
树是B-
树的变体，也是一种多路搜索树：        1.
其定义基本与B-
树同，除了：        2.
非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；        3.
非叶子结点的子树指针P[i]
，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])
的子树
（B-
树是开区间）；        5.
为所有叶子结点增加一个链指针；        6.
所有关键字都在叶子结点出现；
如：（M=3
）
B+
的搜索与B-
树也基本相同，区别是B+
树只有达到叶子结点才命中（B-
树可以在
非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；        B+
的特性：        1.
所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好
是有序的；        2.
不可能在非叶子结点命中；        3.
非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储
（关键字）数据的数据层；        4.
更适合文件索引系统；比如对已经建立索引的数据库记录，查找10<=id<=20，那么只要通过根节点搜索到id=10的叶节点，之后只要根据叶节点的链表找到第一个大于20的就行了，比B-树在查找10到20内的每一个时每次都从根节点出发查找提高了不少效率。
B*
树
是B+
树的变体，在B+
树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；
B*
树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M
，即块的最低使用率为2/3
（代替B+
树的1/2
）；        B+
树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2
的数据
复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+
树的分裂只影响原结点和父
结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；        B*
树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分
数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字
（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之
间增加新结点，并各复制1/3
的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；
所以，B*
树分配新结点的概率比B+
树要低，空间使用率更高；
小结        B
树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于
走右结点；        B-
树：多路搜索树，每个结点存储M/2
到M
个关键字，非叶子结点存储指向关键
字范围的子结点；
所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；        B+
树：在B-
树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点
中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+
树总是到叶子结点才命中；        B*
树：在B+
树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率
从1/2
提高到2/3
；

B+/B*
Tree
应用
数据库索引–索引文件和数据文件是分离的，索引文件仅保存数据记录的地址。

数据库索引–表数据文件本身就是按B+Tree组织的一个索引结构，这棵树的叶节点data域保存了完整的数据记录。这个索引的key是数据表的主键。

倒排索引–也可以由B树及其变种实现但不一定非要B树及其变种实现，如
lucene没有使用B树结构，因此lucene可以用二分搜索算法快速定位关键词。实现时，lucene将下面三列分别作为词典文件（Term Dictionary）、频率文件(frequencies)、位置文件 (positions)保存。其中词典文件不仅保存有每个关键词，还保留了指向频率文件和位置文件的指针，通过指针可以找到该关键字的频率信息和位置信息。 　　
[java]
view plaincopy

1. 关键词            文章号[出现频率]              出现位置 　　  
2. guangzhou           1[2]                      3，6
3. he                  2[1]                      1
4. i                   1[1]                      4
5. live                1[2]                      2，5,   
6. 2[1]                      2
7. shanghai            2[1]                      3
8. tom                 1[1]                      1

参考文章
B-树和B+树的应用：数据搜索和数据库索引
http://blog.csdn.net/hguisu/article/details/7786014
B树、B-树、B+树、B*树 http://www.cnblogs.com/oldhorse/archive/2009/11/16/1604009.html