算法的设计有很多思想，之前的插入排序使用的是增量的方法，即在排好的子数组A中，将元素A[j]插入，形成新的子数组A。
这次将实现另一种排序——归并排序，归并排序采用了“分治法”（divide-and-conquer），本篇中包含
- 分治法的一些定义
- 归并排序的实现
- 归并排序的算法分析
- 参考资料
一、什么是分治法？
分治法，也可以称为分治策略：是将一个大规模的问题（原问题）划分成n个规模较小而结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。
分治模式在每一层递归上都有三个步骤：
分解（divide）：将原问题分解成一系列子问题
解决（conquer）：递归地解决各子问题。若子问题足够小，则直接求解
合并（combine）：将子问题的结果合并成原问题的解
合并排序（merge sort）即参照了上述的模式：
分解：将n个元素分成各含n/2个元素的子序列
解决：用合并排序法对两个子序列递归地排序
合并：合并两个已排序的子序列以得到排序结果
若对子序列排序时，其长度为1时递归结束。因为当数组中仅含有单个元素时，必定是有序的。
二、归并算法的实现
2.1 merge-sort的分析
归并排序主要分为递归与合并两个部分，下面的伪代码为合并部分，其中A是一个数组，p、q、r为下标，满足
p≤q＜r，A[p…q]与A[q+1…r]都是已排序好的，并合并成一个已排序好的子数组代替当前子数组A[p…r]。
MERGE过程的时间代价为Ɵ(n)其中n = r – p + 1为待合并元素个数。
归并的递归过程，归并的临界点与数组元素为1，因为数组元素个数为1，代表数组元素已排序。否则进行数组一分为2的操作，下面为递归部分伪代码
利用merge-sort( A, p, r )对子数组A[p…r]进行排序。如果p≥r，则该子数组中至多只有一个元素，当然就是已排序的。否则，分解步骤就计算出一个下标q，将A[p…r]分解为A[p…q]和A[q+1…r]，各含[n/2]个元素。
2.2 merge-sort的C语言实现
void merge ( int intArray[], int begin, int mid, int end )
{
int n1 = mid - begin + 1;
int n2 = end - mid;
int i, j, k;
int *L = (int *) malloc ( sizeof ( int ) * n1 );
int *R = (int *) malloc ( sizeof ( int ) * n2 );
/*利用goto语句实现异常处理
当L或R未能正常分配时
将直接跳转至程序末尾，后续程序不再执行
*/
if ( L == NULL || R == NULL )
{
goto error;
}
for ( i = 0; i < n1; i++ )
L[i] = intArray[begin + i];
for ( j = 0; j < n2; j++ )
R[j] = intArray[mid + 1 + j];
i = j = 0;
k = begin;
while ( i < n1 && j < n2 )
{
if ( L[i] < R[j] )
{
intArray[k++] = L[i++];
}
else
{
intArray[k++] = R[j++];
}
}
while ( i < n1 )
{
intArray[k++] = L[i++];
}
while ( j < n2 )
{
intArray[k++] = R[j++];
}
/*
程序执行完毕后，在done处，进行资源释放
*/
goto done;
error:
printf ( "malloc has benn failed!\n" );
done:
if ( L != NULL && R != NULL )
{
free ( L );
free ( R );
}
}
void merge_sort ( int intArray[], int head, int tail )
{
int mid;
if ( head < tail )
{
mid = ( head + tail ) / 2;
printf ( "sort ( %d-%d %d-%d ) %d %d %d %d %d %d %d %d\n", head, mid, mid + 1, tail, intArray[0], intArray[1], intArray[2], intArray[3], intArray[4], intArray[5], intArray[6], intArray[7] );
merge_sort ( intArray, head, mid );
merge_sort ( intArray, mid + 1, tail );
merge ( intArray, head, mid, tail );
printf ( "merge ( %d-%d %d-%d ) %d %d %d %d %d %d %d %d\n", head, mid, mid + 1, tail, intArray[0], intArray[1], intArray[2], intArray[3], intArray[4], intArray[5], intArray[6], intArray[7] );
}
}
int main ( void )
{
int a[8] = { 5, 2, 4, 7, 1, 3, 8, 6 };
int i = 0;
merge_sort ( a, 0, 7 );
for ( i = 0; i < 8; i++ )
{
printf ( "%d ", a[i] );
}
while ( 1 );
}三、排序算法分析
3.1 排序算法分析
这里有一个待排序的数组A= ( 5, 2, 4, 7, 1, 3, 2, 6 )
时间复杂度分析，设T(n)为一个规模为n的问题的运行时间。如果问题的规模足够小，如n≤c（c为常量），则得到它的直接解的时间为常量，写作Ɵ(1)。假设我们把原问题分解成a个子问题，每一个的大小是原问题的1/b（对于合并排序，a和b都是2，但在许多分治法中，a≠b）。如果分解该问题和合并解的时间各为D(n)和C(n)，则递归式为
worst-case
分析T(n)最坏情况下，合并排序n个数的运行时间，合并排序一个元素的时间是个常量。当n＞1时，将运行时间分解：
分解：这一步仅仅是计算出子数组的中间位置，需要常量时间，因而D(n)= Ɵ(1)
解决：递归地解两个规模为n/2的子问题，时间为2T(n/2)
合并：在一个含有n个元素的子数组上，MERGE过程的运行时间为Ɵ(n)，则C(n) = Ɵ (n)
当我们再合并排序算法的分析中，将D(n)和C(n)相加时，我们是在将一个Ɵ(1)函数与另一个Ɵ(n)函数进行相加。相加的和是n的一个线性函数，即Ɵ(n)。将它与“解决”步骤中所得的2T(n/2)相加，即得到合并排序的最坏情况运行时间T(n)的递归表示
根据主定理(master theorem)，它可以证明T(n)为Ɵ(nlgn)。
这里的lgn可以从树的深度测出，因为是取2的n此幂，因为，树的根节点为1，其他的分割是n/2；那么可以简单得出n = 1 * 2 * 2 * … * 2，那么树的深度就是log_2 n，树的高度为log_2 n + 1。
3.2 排序算法与插入算法比较
因为对数函数的增长速度比任何线性函数增长的都要慢，因此，当输入规模足够大时，合并排序要比插入排序要好（worst-case下合并排序为Ɵ(nlgn)，插入排序为Ɵ(n2)）
四、参考资料
《算法导论》
《网易公开课》——算法导论
