尺度不变特征变换(Scale-invariant feature transform， 简称SIFT)是图像局部特征提取的现代方法——基于区域/图像块的分析。在上篇笔记里我们使用的图像之间对应点的匹配方法，不适用于不同尺度的图像。有许多应用场景需要对不同尺度（即分辨率、缩放、旋转角度、亮度等都可能存在不同）的图像进行特征识别和匹配，这就需要一种特征提取方法，通过这种方法提取出来的特征描述，可以不受尺度的影响，SIFT算法就是这种方法的实现。SHIT算法有如下的特点：
SIFT特征是图像的局部特征，其对旋转、尺度缩放、亮度变化保持不变性，对视角变化、仿射变换、噪声也保持一定程度的稳定性；
独特性（Distinctiveness）好，信息量丰富，适用于在海量特征数据库中进行快速、准确的匹配；
多量性，即使少数的几个物体也可以产生大量的SIFT特征向量；
高速性，经优化的SIFT匹配算法甚至可以达到实时的要求；
可扩展性，可以很方便的与其他形式的特征向量进行联合。
SIFT算法的应用非常广泛，包括物体识别、机器人地图感知与导航、全景拼接、3D建模、手势识别、影像追踪和动作比对等,原书后面章节的算法也会多次用到它。SIFT算法的过程较复杂，本文只是粗略介绍其关键步骤，以便引出SURF——基于SIFT的改进算法。
SIFT的算法还是比较复杂的，但也让人大开眼界，权威的和详细的介绍应该直接看英文论文，我的笔记记录的也只是其算法的要点，目的是为了理解算法的思想，为了对涉及到的数学有一个大概的了解。
SIFT算法要点
降采样
降采样或隔点采样，将一幅图像降为一半大小的图像，连续使用几次降采样，每次得到的图像大小都降为前一张大小的一半，最后得到一组降采样的图像。降采样的目的是为了综合所有不同清晰度的图像进行关键点提取，这种关键点携带了不同清晰度的信息，对缩放具有不变性。
高斯差分算子(Difference of Gaussians，简称DOG)
在之前的笔记介绍过，原图像与高斯核（2维高斯算子）作卷积（高斯滤波）的结果即为模糊图像，实为平滑效果，高斯滤波属于低通滤波，它可以过滤掉一定的噪声。如果把两张使用不同sigma的模糊图像记为Bσ和Bkσ, DOG操作即为两张模糊图像之差，记：
Gσ = Bkσ - BσGσ为DOG图像，它包含的特征是目标的轮廓。
SIFT先对降采样后的每张图像使用不同的sigma进行高斯模糊，结果是每个降采样图像对应一组模糊图像：
然后对每组模糊图像的相邻图像作DOG，结果是每个降采样图像对应一组DOG图像，如图：
把每一组图像堆叠起来，位于塔底的是第一组（first octave），往上是第二组，第三组…每一组的图像大小为前一组的一半，看起来像金字塔：
如图Gaussian列（左边）称为高斯金字塔，DOG列（右边）称为DOG金字塔。
关键点检测
SIFT分别对每组DOG图像提取关键点，以第一组为例，将第一组DOG图像上下对齐叠加在一起，形成DOG空间，DOG空间有两个域：图像域和尺度域。图像域指图像本身的二维平面像素，尺度域指垂直于图像域的第三维度构成的像素。SIFT使用局部极值检测来定位找到关键点，如下图所示：
X位置所在像素即为当前要检测的点，以X为中心的周围像素（包括图像域和尺度域）形成了一个局部空间（像3X3魔方），如果X为此局部空间的极值（最大值或最小值），那么X即为关键点之一。
关键点描述
SIFT的提取的特征（关键点）需要对尺度保持不变性，所以这里讲的关键点，比之前笔记介绍的角点和兴趣点稍为复杂些，SIFT关键点需要携带尺度信息，包括缩放、方向等信息，主要由它周围的像素来贡献。如果用一个向量来存储这些信息，此向量称为关键点描述（key point descriptor，简称KPD），KPD生成步骤：
在关键点所在图像上，划出以关键点为中心的16×16的矩形图像：
将16×16矩形图像划分为16小格，每小格为4×4，并计算每个像素的梯度和幅度（即像素值变化的方向及大小）：
对每个小格进行统计，统计8个方向的幅度，形成幅度直方图：
将16小格的幅度直方图连接起来，用向量表示，即为KPD，共有128（8×16）维：
使用向量表示为： R = (r1, r2, …, r128)
为了让关键点对方向具有不变性，在选取16×16矩形区域的时候，将矩形的方向旋转到与关键点主方向一致。SIFT定义关键点主方向为：以关键点为中心的周围像素所贡献的主方向。
可采用梯度直方图统计法，统计以关键点为原点，一定区域内的图像像素点对关键点方向生成所作的贡献，贡献最大的那个方向即为关键点主方向。
关键点匹配
关键点的匹配问题，已经转为KPD的匹配问题，两KPD的相似程度，使用欧式距离进行计算。设有两个KPD分别为R = (r1, r2, …, r128)和S = (s1, s2, …, s128)，R与S的欧式距离计算公式为：
d = sqrt((r1 - s1)^2 + (r2 - s2)^2 + ... + (r128 - s128)^2)所以，要找出两张不同尺度图像间的对应点（具有对应关系的关键点），分下面几步：
分别检测两张图像的关键点，并计算出每个关键点的KPD，分别得到两个KPD集合SET1和SET2
为SET1中每个KPD，从SET2找最佳匹配（即欧式距离最小的为最佳匹配），然后反过来，为SET2每个KPD，从SET1中找最佳匹配，只有彼此认为是最佳匹配的那些KPD对才是对应点
为提高匹配准确率，可以设定一个阈值，欧式距离大于此阈值的那些匹配对，将不考虑。
为提高算法效率，可以使用kd树和RANSAC（ Random Sample Consensus， 随机抽样一致）方法。
SURF
SURF（Speeded Up Robust Features）是对SIFT的一种改进，主要特点是快速。SURF与SIFT主要有以下几点不同处理：
SIFT在构造DOG金字塔以及求DOG局部空间极值比较耗时，SURF的改进是使用Hessian矩阵变换图像，极值的检测只需计算Hessian矩阵行列式，作为进一步优化，使用一个简单的方程可以求出Hessian行列式近似值，使用盒状模糊滤波（box blur）求高斯模糊近似值。
SURF不使用降采样，通过保持图像大小不变，但改变盒状滤波器的大小来构建尺度金字塔。
在计算关键点主方向以及关键点周边像素方向的方法上，SURF不使用直方图统计，而是使用哈尔(haar)小波转换。
SIFT的KPD达到128维，导致KPD的比较耗时，SURF使用哈尔(haar)小波转换得到的方向，让SURF的KPD降到64维，减少了一半，提高了匹配速度。
小结
SIFT算法是有专利的，正规使用是要交专利费的，所以有人提出了一种可作为SIFT替代的算法——ORB，ORB没有专利问题，考虑到本文篇幅过长，图片过多，此算法的介绍和示例将在下一笔记介绍。
可能也是因为专利问题，skimage库有ORB算法，但没有SIFT和SURF。虽然OpenCV都包含了上述算法，但OpenCV目前不在我的学习计划中。
原书示例使用了一个第三方实现的SIFT算法库，我认为在实际使用可能价值不高，另外，书上也没有介绍ORB（也许是因为在写此书时，ORB还没有出来），但我认为ORB更有研究的必要，因为无专利问题，它将会是一个被广泛使用的算法，所以本文没有给出SIFT代码示例，但计划在下篇笔记介绍ORB和给出示例。
你还可以看我其它的笔记。
