Largest Rectangle in Histogram

Problem

Given n non-negative integers representing the histogram’s bar height where the width of each bar is 1, find the area of largest rectangle in the histogram.
《Largest Rectangle in Histogram》
Above is a histogram where width of each bar is 1, given height = [2,1,5,6,2,3].
《Largest Rectangle in Histogram》
The largest rectangle is shown in the shaded area, which has area = 10 unit.

For example,
Given height = [2,1,5,6,2,3],
return 10.

Solution

暴力穷举法

最简单的自然是暴力法,即穷举左端坐标和右端坐标,计算两个坐标之间矩形的最大面积,再从所有的面积中得出最大的即为解。但是该方法至少需要两个for循环来遍历每一种左右端的组合,时间复杂度为O($n^2$)。以下是该方法的代码,解是对的,但在leetcode上会超时。

class Solution:
    # @param height, a list of integer
    # @return an integer
    def largestRectangleArea(self, height):
        length = len(height)
        max_area = -1
        for i in range(length):
            for j in range(i + 1, length):
                h = min(height[i: j])
                area = h * (j - i)
                if max_area < area:
                    max_area = area
        return max_area
利用栈减小时间复杂度

可以考虑,计算一个矩形的面积时,比如图
《Largest Rectangle in Histogram》
中的斜线部分,其两侧的高度一定是低于矩形所在的矩形条的高度的,因此可以通过维护一个栈来得出左端左边及右端坐标和矩形的高度,每一个矩形条只进栈一次,这样时间复杂度为O(n)。
1. 算法从左向右遍历每个矩形,以当前遍历的位置为右端坐标,如果栈为空或者当前矩形不低于栈顶的矩形,则将当前的位置坐标压栈,因为此时的坐标一定不是右边界(指要计算的面积右边的一个矩形条,不包含在要计算的面积中),例如图中,加入当前坐标为3,高度为6,栈顶坐标的高度为5,那么当前矩形条不可能作为右边界,将其压栈。
2. 如果当前位置的矩形低于栈顶的矩形条,那么当前位置可以作为一个矩形的边界,则从这个位置开始向左遍历,对每个高度大于右边界的矩形条作为左边界计算一次面积,直到高度小于右边界或栈为空。
3. 在遍历过一遍之后,如果栈不为空,则以栈中的每个坐标作为左边界计算一次面积,结合步骤2得出最大面积。
Accepted code如下:

class Solution:
    # @param height, a list of integer
    # @return an integer
    def largestRectangleArea(self, height):
        max_area = 0
        i = 0
        n = len(height)
        stack = []
        while i < n:
            if len(stack) == 0 or height[i] >= height[stack[-1]]:
                stack.append(i)
                i += 1
            else:
                top = stack.pop()
                area_with_top = height[top] * (i if len(stack) == 0 else i - stack[-1] - 1)
                if max_area < area_with_top:
                    max_area = area_with_top

        while len(stack) != 0:
            top = stack.pop()
            area_with_top = height[top] * (i if len(stack) == 0 else i - stack[-1] - 1)
            if max_area < area_with_top:
                max_area = area_with_top

        return max_area

这个方法并不是提供一个准确的找出最大的矩形的算法,而是通过试验那些“可能”成为最大的矩形的面积,再从其中找出最大的。而最大的矩形一定满足两个边界的高度小于该矩形的高度这个条件(如果不满足的话,边界也可以被添加进来计算而不破坏矩形的形状,此时不为最大),因此找出所有这样的矩形就一定可以在其中找出面积最大的矩形。

    原文作者:OldPanda
    原文地址: https://segmentfault.com/a/1190000000613436
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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