C数据结构与算法关系

算法是解决特定问题求解步骤的描述,在计算机中表现为指令的有限序列,并且每条指令表示一个或多个操作。

程序设计中数据结构和算法是最重要的,是编程的灵魂。

数据结构是算法实现的基础,算法总是要依赖于某种数据结构来实现。往往是在发展一种算法的时候,构建了适合于这种算法的数据结构。一种数据结构如果脱离了算法,也就没有存在的价值了。

算法的作用

解决任何一个实际问题,都不可避免地涉及到算法的问题,例如存钱问题,节假日值班人员的排班等,都需要通过一定的算法得到一个最优的方案。

示例:看商品猜价格

首先出示一件价格在999元内的商品,参与者要猜出这件商品的价格。在猜价格的过程中,主持人会根据参与者给出的价格,相应地给出“高了”或“低了”的提示。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main(){
    int ori_price,new_price=0, i=1;

    printf("\nold price:");
    scanf("%d", &ori_price);
    system("cls");

    printf("\nguess");
    while(ori_price != new_price){
        i++;
        printf("\nnew price:");
        scanf("%d", &new_price);

        printf("\nresult:");
        if(ori_price > new_price){
            printf("too small\n");
        }else if(ori_price < new_price){
            printf("too big\n");
        }else{
            printf("success %d", i);
        }
    }
    return 0;
}

运行并测试

$ gcc hello.c -o hello
$ hello

递推算法

算法思路:递推算法使用“步步为营”的方法,不断利用已有的信息推导出新的东西。

  • 顺推法:从已知条件出发,逐步推算出要解决问题的方法。例如,斐波拉契数列可以通过顺推法推算出新的数据。
  • 逆推法:从已知结果出发,用迭代表达式逐步推算出问题开始的条件,即顺推法的逆过程。

《C数据结构与算法关系》 顺推法 – 兔子的繁殖过程

数据结构与算法关系

例:累加程序
普通算法

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int i, sum=0, n = 100;
    for(i=1; i<=n; i++){
        sum = sum + i;
    }
    printf("%d\n",sum);
    return 0;
}

高斯:求等差数列的算法

#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int i, sum=0, n = 100;
    sum = (1 + n) * (n / 2);
    printf("%d\n", sum);
    return 0;
}

《C数据结构与算法关系》 求等差数列的算法

算法的定义

算法(Algorithm)是描述解决问题的方法,具体来说,是解决特定问题求解步骤的描述,在计算机中表现为指令的有限序列,并且每条指令表示一个或多个操作。

算法的特性

  • 输入输出:算法具有零个或多个输入,算法至少有一个或多个输出。
  • 有穷性:算法在执行优先的步骤之后,自动结束而不会出现无限循环,并且每一步骤在可接受的时间内完成。
  • 确定性:算法的每一步骤都具有明确的含义,不会出现二义性。
  • 可行性:算法的每一步都必须是可行的,即每一步都能够通过执行有限次数完成。

算法设计的要求

  • 正确性:算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性,能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
  • 可读性:便于阅读、理解、交流
  • 健壮性:当输入数据不合法时,算法也能做出相关处理,而不是产生异常或莫名其妙的结果。
  • 时间效率高和存储量低

算法效率的度量方法

  • 事后统计方法:通过设计好的测试程序和数据,利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行的时间进行比较,从而确定算法效率的高低。
  • 事前分析估算方法:在计算机程序编制前,依据统计方法对算法进行估算。
    一个程序的运行时间,依赖于算法的好坏和问题的输入规模,所谓问题的输入规模是指输入量的多少。
#include <stdio.h>

int main(void)
{
    int i,j,x=0,sum=0, n = 100;//执行1次
    for(i=1; i<=n; i++){
        for(j=1; j<=n; j++){
            x++;//执行n*n次
            sum = sum + i;
        }
    }
    printf("%d\n",sum);//执行1次
    return 0;
}

最终,在分析程序的运行时间时,最重要的是把程序看成独立于程序设计语言的算法或一系列步骤。

在分析一个算法的运行时间时,重要的是把基本操作的数量与输入规模关联起来,即基本操作的数量必须表示成输入规模的函数。

《C数据结构与算法关系》 不同算法的操作数量对比

函数的渐进增长

假设两个算法的输入规模都是n,算法A要做2n+3次操作,可理解为先有一个n次的循环,执行完后在有一个n次循环,最后有3次赋值或运算,共2n+3次操作。算法B要做3n+1次操作。你觉得他们谁更快呢?

《C数据结构与算法关系》 函数的渐进增长

  • 当n=1时,算法A效率不如算法B。
  • 当n=2时,两者效率相同。
  • 当n>2时,算法A开始优于算法B。

输入规模n在没有限制的情况下,只要超过一个数值N,这个函数就总是大于另一个函数,称函数是渐进增长的。

函数的渐进增长:给定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N,使得对于所有n>N,f(n)总是比g(n)大。那么,我们说f(n)的增长渐进快于g(n)。

《C数据结构与算法关系》 与最高次项相乘的场数并不重要
《C数据结构与算法关系》 最高次项的指数大的,函数随着n的增长,结果也会变得增长特别快。
《C数据结构与算法关系》 判断一个算法的效率时,函数总的场数和其他次要项常常可以忽略,而更应该关注主项(最高阶项)的阶数。

某个算法,随着n的怎大,它会越来越优于另一算法,或者越来越差于另一算法。

算法时间复杂度

在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于 问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度,也就是算法的时间量度,记作T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐进时间复杂度,简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

使用O()来体现算法时间复杂度的记法,称之为大O记法。随着n的增大,T(n)增长最慢的算法为最优算法。

推导大O阶方法

  • 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
  • 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
  • 若最高阶项存在且不为1,则去除与这个项相乘的常数。
  • 得到的结果就是大O阶

常数阶 O(1)

  • 顺序结构的时间复杂度
  • 对于分支结构而言,无论是真假、执行次数都是恒定的,不会随着n的变大而发生变化。

线性阶 O(n)

  • 循环结构:分析算法的复杂度,关键要分析循环结构的运行情况。

对数阶 O(logn)

int count = 1;
while(count < n){
    //每次count乘以2之后,就距离n更近一些。
    count = count * 2;
}

平方阶 O(n^2)

int i,j;
// 时间复杂度 O(n^2)
for(i=0; i<n; i++){
    for(j=0; j<n; j++){

    }
}
int i,j;
// 时间复杂度 O(m*n)
for(i=0; i<m; i++){
    for(j=0; j<n; j++){

    }
}

//执行次数为1
n++;

void function(int count){
    int i;
    for(i=count; i<n; i++){
        
    }
}
//执行次数为n
function (n);

int i,j;
//执行次数为n^2
for(i=0; i<n; i++){
    function(i);
}

//执行次数为n*(n+1)/2
for(i=0; i<n; i++){
    for(j=i; j<n; j++){

    }
}

常见时间复杂度

  • 常数阶 O(1)
  • 线性阶 O(n)
  • 平方阶 O(n^2)
  • 对数阶 O(logn)
  • nlogn阶 O(nlogn)
  • 立方阶 O(n^3)
  • 阶数阶 O(2^n)

最坏情况和平均情况

查找一个有n个随机数字数组中的某个数字,最好的情况是第一个数字就是,那么算法的时间复杂度为O(1),但也有可能这个数字在最后一个位置,那么算法的时间复杂度就是O(n),这是最坏的一种情况。

最坏情况运行时间是一种保证,那就是运行时间将不会再坏了。在应用中,就是一种最重要的需求,通常除非特别指定,我们提供的运行时间都是最坏情况的运行时间。

平均运行时间是从概率的角度看,这个数字在每个位置的可能性是相同的。

平均运行时间是所有情况中最有意义的,因为它是期望的运行时间。

对算法的分析,一种方法是计算所有情况的平均值,这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种情况最坏情况下的时间复杂度,这种办法称为最坏时间复杂度。一般在没有特别说明的情况下,都是最坏时间复杂度。

算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算所需的存储空间实现,算法空间复杂度的计算公式记为:S(n) = O(f(n))。其中n为问题的模型,f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

    原文作者:JunChow520
    原文地址: https://www.jianshu.com/p/8c181f1f8c7e
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