题图来自 xkcd。
泊松分布解决的问题看起来非常简单。比如这个：已知某医院平均一天里有 8 名新生儿诞生，那么医院一个月里，每日新生儿出生数量的分布是怎样的？
把泊松分布发扬光大的 Bortkiewicz 在《小数法则》一书里举了这么一个例子：从1875到1894年的20年间，德国的十四个军团部有士兵被马踢伤致死的人数纪录。这 20×14 = 280个纪录，按死亡人数来分，如下所示。
这280个记录中，共有196人死亡，死亡率是 0.7，根据这一数据，Bortkiewicz 用泊松分布计算得出结果，如下所示，可以看到泊松分布得出的结果和现实出奇地吻合。
泊松分布其实只是二项式分布的极限情况，泊松分布公式如下：
它的推导非常简单，但在推导之前，我们必须了解自然对数 e 的意义。
自然对数 e 的意义
我们就从简单的存钱问题入手。
你向银行存了 100 元，年利率是 100%，到下一年的此时，你就能取出 200 元。
现在银行允许你半年就能取出利息，年利率还是 100%，但半年后，你就能取出年利息的一半，也就是 50%，50 元。半年后，你决定把取出的五十块钱利息立即存进银行里，又过了半年后（第一存款的一年后），你的存款就是
现在银行允许你一个月就能取出利息，年利率还是 100%。你 1 月存了 100 元，1月结束，你取出利息后立即存到银行里，2月结束你取出利息后又存进去… 这样一年后，你的存款是
现在银行允许你一天就能取出利息，一年后你的存款是
现在我们考虑更极限的情况，银行允许你一小时就能取出利息。一年后你的存款是
可以发现，当我们取的时间越来越小时，也就是 n 无限大时，存款逐渐逼近某个数，这个数就是
因此，你可以把 e 理解为极限情况下，100% 年利率下，利滚利能取得的最高收益。
但如果年利率是 10%呢？极限情况（n 是个无限大的数）下，一年后你的存款是
再将公式推广，本钱是1，年利率（增长率）是 a，n 无限大时，t 年后的存款是
泊松分布是二项分布的极限情况，我们现在来看一下二项分布的性质。
二项分布
在一个无限空间口袋里，有无限多的黑球和白球，40%是黑球，60%是白球。分别拿三次球并记录每次拿出球的颜色，其中1个是白球，剩下2个是黑球的概率 P 是多少？
首先拿三次球一白二黑，有三种排列组合的情况，白黑黑，黑白黑，黑黑白。
拿出白黑黑的概率是，0.6×0.4×0.4=0.096
拿出黑白黑的概率是，0.4×0.6×0.4=0.096
拿出黑黑白的概率是，0.4×0.4×0.6=0.096
因此，P = 0.096 + 0.096 + 0.096 = 0.288
以上就是二项分布了，二项分布的公式很好理解，P = 排列组合的数量 × 该组合的概率
求排列组合的数量可以这么想。事件总数（size）是 n，事件分成2种情况，S 是白方块，数量为 k，F 是黑方块，数量就是 n-k。现在我们把所有白方块和黑方块都看做不同的，也就是 S1, S2, S3… Sk, F1, F2, F3… Fn-k，让这些方块排列组合，组合数量就是 n!。
但如果我们把黑色的方块视为相同的，白色还是不同的，每种排列都有 (n-k)! 个重复情况，如下图所示。
如果我们把白色的方块视为相同的，每种排列会有 k! 个重复情况。
因此当所有黑方块和白方块视为相同时，组合数量为 n! / [(n-k)! × k!)]
p 为成功概率，(1-p) 就是失败的概率，事件总数为 n，成功次数为 k，失败次数就是 n-k，不考虑顺序（也就是同时发生）该组合的概率就是
若考虑顺序，概率 P 就是
泊松分布的推导
泊松分布就是二项分布的极限情况。
已知某医院平均一天里有 λ 名新生儿诞生，我们可以把这一天以每秒计算，一天有86400秒，我们把出生瞬间定义为婴儿刚刚离开阴道的时间，假设新生儿不可能在同一秒出生，且每秒婴儿出生的概率相同，均为 λ/86400。
这就是二项分布问题，一天里的事件总数 n = 86400，成功概率 p = λ/86400=，失败概率 1-p = 1-λ/86400，带入公式，每日出生 k 名婴儿的概率就是
但我们是不是也能把这一秒再分割呢？比如毫秒、微秒？这样我们就更能保证在一微秒不会有多名婴儿同时诞生，我们把事件总数 n 看作无限大，每日出生 k 名婴儿的概率就是
因为此时 n 无限大，k 和 λ 相对小，结合自然对数 e 的性质，可以做以下的近似
因此
泊松分布的应用
已知某医院平均一天里有 8 名新生儿诞生，每日出生 k 名婴儿的概率是怎样的？
用刚刚推出的公式，已知 λ =8，我们可以分别计算出每日诞生 1 名、2 名、3 名… 婴儿的概率。
用 Python 写了个循环，代码如下：
import math
import numpy as np
for k in range(1,30):
l = 8.
p = l ** k * np.exp(-l) / math.factorial(k)
print '每日诞生 %d 名婴儿的概率 p = %f' %(k,p)
#部分输出如下
每日诞生 6 名婴儿的概率 p = 0.122138
每日诞生 7 名婴儿的概率 p = 0.139587
每日诞生 8 名婴儿的概率 p = 0.139587
每日诞生 9 名婴儿的概率 p = 0.124077
每日诞生 10 名婴儿的概率 p = 0.099262
每日诞生 11 名婴儿的概率 p = 0.072190
每日诞生 12 名婴儿的概率 p = 0.048127
每日诞生 13 名婴儿的概率 p = 0.029616
每日诞生 14 名婴儿的概率 p = 0.016924用图像表示概率分布如下：
