决策树的算法可谓是贴近我们的生活，通过下面的案例，你就会发现我们每天都在有意无意的使用着决策树算法（好厉害的样子）。
小明同学每天早上都要去学校，可步行、乘公交和坐隔壁老王叔叔的车（皮一下很开心）。这时，小明就开始做决策了：首先看天气，不下雨时就选择步行去学校；下雨时就看隔壁老王叔叔是否有空，有空就乘老王的车去学校，没空就选择乘公交去学校。如图所示。
案例
决策树定义
通过上述案例，就可以对决策树下定义了：上图就是决策树（嗯。。。有点敷衍）。决策树由结点和有向边组成。结点有两种类型：内部节点和叶节点，内部节点表示一个特征或属性（天气，是否有空），叶节点表示一个类（步行、乘公交和坐隔壁老王叔叔的车）。
决策树算法原理
那怎么通过决策树算法来构造这棵树呢？（难道是上帝之手么？）上述案例较简单，我们现在提出一个很经典的案例，如图所示，我们首先到底是通过天气、湿度还是风级来进行决策了？这里就要提出熵和信息增益。
案例
熵
首先，我们看什么是熵。简单来说，熵是描述事物的混乱程度的（也可以说是不确定性）。例如：中国足球进入世界杯，这个不确定性可能是0，所以熵可能就是0；6面的色子的不确定性比12面色子的要低，所以熵也会比其低。现在就来看熵的公式：H = -∑ni=1p(xi)log2p(xi)
那6面色子的熵：1/6*log21/6的6倍，也就是2.585
以此类推，那12面的熵就是：3.585
最后，我们计算下该案例的信息熵：不打球为5，打球为9，因此熵计算为：
-(5/14 * log(5/14,2) + 9/14 * log(9/14,2))
0.940
信息增益
到底先按哪个特征划分数据集呢?我们有个原则，就是将无序的数据变得有序，换句话说，就是让熵变小，变的越小越好。而信息增益就是划分数据集前后熵的变化，这里就是要让信息增益越大越好。
我们以天气为例，计算划分后的信息增益：
- 晴天时：2/5打球，3/5不打球，熵为：
-(2/5 * log(2/5,2) + 3/5 * log(3/5,2))
0.971
- 阴天熵：0
雨天熵：0.971
天气天气为晴天、阴天和雨天的概率为5/14，4/14和5/14，所以划分后的熵为：5/14 * 0.971+4/14 * 0+5/14 * 0.971得0.693，信息增益为0.940-0.693为0.247，同理可以求出其他特征的信息增益。
这里的天气信息增益最大，所以选择其为初始的划分依据。
选择完天气做为第一个划分依据后，能够正确分类的就结束划分，不能够正确分类的就继续算其余特征的信息增益，继续前面的操作，结果如图所示。
结果
伪代码
所以决策树是一个递归算法，伪代码如下：
def createBranch():
检测数据集中的所有数据的分类标签是否相同:
If so return 类标签
Else:
寻找划分数据集的最好特征（划分之后信息熵最小，也就是信息增益最大的特征）
划分数据集
创建分支节点
for 每个划分的子集
调用函数 createBranch （创建分支的函数）并增加返回结果到分支节点中
return 分支节点
决策树之海洋生物分类
问题描述与数据
数据为判断是否为鱼类，有两个特征：
- 在水中是否生存
是否有脚蹼
案例这里需要我们自己手动构造数据：
def creatDataSet():
dataSet = [
[1, 1, 'yes'],
[1, 1, 'yes'],
[1, 0, 'no'],
[0, 1, 'no'],
[0, 1, 'no']
]
labels = ['no surfacing', 'flippers']
return dataSet, labels
这里的dataSet为数据，labels是两个特征的名称。
计算熵
这里我们定义一个计算数据集熵的函数：
from math import log
def calcshannon(dataSet):
num = len(dataSet)
labelCounts = {}
for featVec in dataSet:
currentLabel = featVec[-1]
if currentLabel not in labelCounts.keys():
labelCounts[currentLabel] = 0
labelCounts[currentLabel] += 1
shannon = 0.0
for key in labelCounts:
prob = float(labelCounts[key])/num
shannon -= prob * log(prob, 2)
return shannon
这个代码比较简单，就是对传入的数据，以最后一列（也就是分类label）求熵。
划分数据集
首先设置一个划分数据集的函数，参数为：待划分的数据，划分的特征和返回的特征值，该函数会在choose函数中被调用，用于计算最好的划分特征。
def splitDataSet(dataSet, axis, value):
retDataSet = []
for featVec in dataSet:
if featVec[axis] == value:
reduce = featVec[:axis]
reduce.extend(featVec[axis+1:])
retDataSet.append(reduce)
return retDataSet
def choose(dataSet):
numfeature = len(dataSet[0]) - 1
baseEntropy = calcshannon(dataSet)
bestinfogain = 0.0
bestfeature = -1
for i in range(numfeature):
featlist = [example[i] for example in dataSet]
vals = set(featlist)
newEntropy = 0.0
for value in vals:
subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)
prob = len(subDataSet)/float(len(dataSet))
newEntropy += prob*calcshannon(subDataSet)
infoGain = baseEntropy - newEntropy
if (infoGain > bestinfogain):
bestinfogain = infoGain
bestfeature = i
return bestfeature
创建树
在所有特征使用完时，也没法对数据进行彻底的划分时，就需要使用多数表决来确定叶子节点的分类，代码如下，类似前文中KNN中的排序。
import operator
def majority(classList):
classCount = {}
for vote in classList:
if vote not in classCount.keys():
classCount[vote] = 0
classCount[vote] += 1
sortedcount = sorted(classCount.items(), key=operator.itemgetter(1), reverse=True)
return sortedcount[0][0]
最后就是创建树的代码：
def createTree(dataSet, labels):
classList = [example[-1] for example in dataSet]
if classList.count(classList[0]) == len(classList):
return classList[0]
if len(dataSet[0]) == 1:
return majority(classList)
bestFeat = choose(dataSet)
bestFeatLabel = labels[bestFeat]
myTree = {bestFeatLabel:{}}
del (labels[bestFeat])
Vals = [example[bestFeat] for example in dataSet]
uvals = set(Vals)
for value in uvals:
sublabels = labels[:]
myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value), sublabels)
return myTree
这里有两个终止递归的条件：一是所有类别能正确的划分了，二是特征使用完成。
结果
算法优缺点
- 优点：利于理解
- 缺点：容易过拟合
