写在之前
想看程序参数说明的请到：
- http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.tree.DecisionTreeClassifier.html
- http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.tree.DecisionTreeRegressor.html#sklearn.tree.DecisionTreeRegressor
- http://www.th7.cn/Program/Python/201604/830424.shtml
本文是Scikit-learn中的决策树算法的原理、应用的介绍。欢迎转载，转载注明出处即可。如有错误，请指正。
正文部分
决策树是一个非参数的监督式学习方法，主要用于分类和回归。算法的目标是通过推断数据特征，学习决策规则从而创建一个预测目标变量的模型。如下如所示，决策树通过一系列if-then-else 决策规则 近似估计一个正弦曲线。
../_images/sphx_glr_plot_tree_regression_0011.png
决策树优势：
- 简单易懂，原理清晰，决策树可以实现可视化
- 数据准备简单。其他的方法需要实现数据归一化，创建虚拟变量，删除空白变量。(注意：这个模块不支持缺失值)
- 使用决策树的代价是数据点的对数级别。
- 能够处理数值和分类数据
- 能够处理多路输出问题
- 使用白盒子模型(内部结构可以直接观测的模型)。一个给定的情况是可以观测的，那么就可以用布尔逻辑解释这个结果。相反，如果在一个黑盒模型(ANN)，结果可能很难解释
- 可以通过统计学检验验证模型。这也使得模型的可靠性计算变得可能
- 即使模型假设违反产生数据的真实模型，表现性能依旧很好。
决策树劣势：
- 可能会建立过于复杂的规则，即过拟合。为避免这个问题，剪枝、设置叶节点的最小样本数量、设置决策树的最大深度有时候是必要的。
- 决策树有时候是不稳定的，因为数据微小的变动，可能生成完全不同的决策树。 可以通过总体平均(ensemble)减缓这个问题。应该指的是多次实验。
- 学习最优决策树是一个NP完全问题。所以，实际决策树学习算法是基于试探性算法，例如在每个节点实现局部最优值的贪心算法。这样的算法是无法保证返回一个全局最优的决策树。可以通过随机选择特征和样本训练多个决策树来缓解这个问题。
- 有些问题学习起来非常难，因为决策树很难表达。如：异或问题、奇偶校验或多路复用器问题
- 如果有些因素占据支配地位，决策树是有偏的。因此建议在拟合决策树之前先平衡数据的影响因子。
分类
DecisionTreeClassifier 能够实现多类别的分类。输入两个向量：向量X，大小为[n_samples,n_features]，用于记录训练样本；向量Y，大小为[n_samples]，用于存储训练样本的类标签。
from sklearn import tree
X = [[0, 0], [1, 1]]
Y = [0, 1]
clf = tree.DecisionTreeClassifier()
clf = clf.fit(X, Y)
clf.predict([[2., 2.]])
clf.predict_proba([[2., 2.]]) #计算属于每个类的概率
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn import tree
iris = load_iris()
clf = tree.DecisionTreeClassifier()
clf = clf.fit(iris.data, iris.target)
# export the tree in Graphviz format using the export_graphviz exporter
with open("iris.dot", 'w') as f:
f = tree.export_graphviz(clf, out_file=f)
# predict the class of samples
clf.predict(iris.data[:1, :])
# the probability of each class
clf.predict_proba(iris.data[:1, :])
安装Graphviz将其添加到环境变量，使用dot创建一个PDF文件。dot -Tpdf iris.dot -o iris.pdf
# 删除dot文件
import os
os.unlink('iris.dot')
如果安装了pydotplus，也可以在Python中直接生成：
import pydotplus
dot_data = tree.export_graphviz(clf, out_file=None)
graph = pydotplus.graph_from_dot_data(dot_data)
graph.write_pdf("iris.pdf")
可以根据不同的类别输出不同的颜色，也可以指定类别名字。
from IPython.display import Image
dot_data = tree.export_graphviz(clf, out_file=None,
feature_names=iris.feature_names,
class_names=iris.target_names,
filled=True, rounded=True,
special_characters=True)
graph = pydotplus.graph_from_dot_data(dot_data)
Image(graph.create_png())
../_images/iris.svg
更多地可以看到分类的效果：
../_images/sphx_glr_plot_iris_0013.png
回归
和分类不同的是向量y可以是浮点数。
from sklearn import tree
X = [[0, 0], [2, 2]]
y = [0.5, 2.5]
clf = tree.DecisionTreeRegressor()
clf = clf.fit(X, y)
clf.predict([[1, 1]])
# Import the necessary modules and libraries
import numpy as np
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
import matplotlib.pyplot as plt
# Create a random dataset
rng = np.random.RandomState(1)
X = np.sort(5 * rng.rand(80, 1), axis=0)
y = np.sin(X).ravel()
y[::5] += 3 * (0.5 - rng.rand(16))
# Fit regression model
regr_1 = DecisionTreeRegressor(max_depth=2)
regr_2 = DecisionTreeRegressor(max_depth=5)
regr_1.fit(X, y)
regr_2.fit(X, y)
# Predict
X_test = np.arange(0.0, 5.0, 0.01)[:, np.newaxis]
y_1 = regr_1.predict(X_test)
y_2 = regr_2.predict(X_test)
# Plot the results
plt.figure()
plt.scatter(X, y, c="darkorange", label="data")
plt.plot(X_test, y_1, color="cornflowerblue", label="max_depth=2", linewidth=2)
plt.plot(X_test, y_2, color="yellowgreen", label="max_depth=5", linewidth=2)
plt.xlabel("data")
plt.ylabel("target")
plt.title("Decision Tree Regression")
plt.legend()
plt.show()
多输出问题
多输出问题时需要预测多个输出的监督式学习问题。即Y是一个2d的向量，大小为[n_samples, n_outputs]。
当输出之间不相关时，一个简单的解决办法是建立n个独立模型。对于每一个输出，使用这些模型独立预测这每个输出。由于输出是和相同的输入相关的，所以一个更好的办法是建立一个能够持续预测所有输出的单一模型。首先，系统需要的训练时间更少了，因为只建立了一个模型。其次准确性也会得到提高。
决策树的策略需要修改以支持多分类问题。
- 叶子上存储n个输出变量
- 使用不同的标准计算所有n输出的平均减少
这一节是关于 DecisionTreeClassifier 和DecisionTreeRegressor的一些知识点。如果一个决策树的输出向量Y大小为[n_samples, n_outputs]，预测量有：
- predict：输出n个预测值
- predict_proba：输出有n个输出的向量组成的列表。
多输出的回归的例子：输入X是一个单一的值，输出Y是输入X的Sine和Cosine。
Multi-output Decision Tree Regression
../_images/sphx_glr_plot_tree_regression_multioutput_0011.png
多输出的分类的例子：Face completion with a multi-output estimators
输入X是上半脸的像素，输出Y是下半脸的像素。
../_images/sphx_glr_plot_multioutput_face_completion_0011.png
参考文献：
- M. Dumont et al, Fast multi-class image annotation with random subwindows and multiple output randomized trees, International Conference on Computer Vision Theory and Applications 2009
复杂度
通常生成一个二进制树运行时间为
查询时间为
虽然构建的算法意图建立一个均衡的树，但是不总是均衡的。假设子树保持均衡，每个节点的消耗为
以查找使熵最大减少的特征。每个节点的消耗为
，使得整个树的消耗为
Scikit-learn提供了建立决策树的一种更加高效的实现。简单的实现，在每次划分时，将会重新计算类标签的直方图(分类)或者均值(回归)。将所有相关样本特征预分类保留标签计数，将每个节点的复杂度减少为
，同时将整体复杂度减少为
。默认是开启的，一般来说会使得训练更快，但是如果关闭，则训练深层决策树的时候训练会变慢。
使用小贴士
- 如果数据量大，决策树容易过拟合。样本和特征的比例非常重要。如果决策树样本少，特征多，非常可能过拟合。
- 可以考虑事先做维度约减(PCA，ICA)，以产生一个特征之间区别性大的决策树
- 通过
export将你的训练的决策树可视化，使用max_depth =3作为一个初始的树的深度，有一个数据拟合决策树模型的大概感觉，然后逐渐增加深度 - 数据的样本量的增加将加深决策树的深度，使用
max_depth控制决策树的尺寸以防止过拟合 - 使用
min_samples_split或者min_samples_leaf来控制叶节点的样本数量。一个非常小的数量往往意味着过拟合，而一个较大的数可以防止过拟合。可以将min_samples_leaf=5作为一个初始值。如果样本数据变化巨大，可以采用一个浮点数。两者的区别在于min_samples_leaf保证了叶节点最小的数量，min_samples_split能够建立任意数量的叶子节点，在文学上用到也更多 - 如果样本是有权重的，可以使用
min_weight_fraction_leaf来实现基于权重的预修剪规则来优化决策树结构 - 决策树内部使用
np.float32向量，如果样本不是这个形式的，将产生一个数据集的样本 - 如果数据矩阵X是非常稀疏的，建议在拟合和预测之前转换为稀疏矩阵
csc_matrix。稀疏矩阵将比稠密矩阵快数量级的速度
决策树算法：ID3,C4.5,C5.0,CART
ID3是由Ross Quinlan在1985年建立的。这个方法建立多路决策树，并找到最大的信息增益。当树长到最大的尺寸，经常应用剪枝来提高决策树对未知数据的一般化。
C4.5是ID3的进一步延伸，通过将连续属性离散化，去除了特征的限制。C4.5将训练树转换为一系列if-then的语法规则。可确定这些规则的准确性，从而决定哪些应该被采用。如果去掉某项规则，准确性能提高，则应该实行修剪。
C5.0较C4.5使用更小的内存，建立更小的决策规则，更加准确。
CART和C4.5很相似，但是它支持数值的目标变量（回归）且不产生决策规则。CART使用特征和阈值在每个节点获得最大的信息增益来构建决策树。
scikit-learn使用一个最佳的CART算法
数学公式
训练向量
i=1,…和标签向量
，决策树递归地划分空间，以使得相同标签的样本被分到一起。用Q表示在节点m的数据，对于每一个候选划分
由特征j和阈值
，将数据划分为
两个子集
m节点的不纯度用函数H()计算，
选择参数是的不纯度最小：
递归以上，直至达到最大可允许的深度，
或者
分类标准
类k在节点m的比例：
Gini不纯度：
交叉熵：
误分类：
回归标准
| 函数 | 函数功能 |
|---|---|
apply(X[, check_input]) | 返回每个样本的叶节点的预测序号 |
decision_path(X[, check_input]) | 返回决策树的决策路径 [n_samples, n_nodes] |
fit(X, y[, sample_weight, check_input, …]) | 从训练数据建立决策树，返回一个对象 |
| fit_transform(X[, y]) | 将数据X转换[n_samples, n_features_new] |
| get_params([deep]) | 得到估计量的参数，返回一个映射 |
| predict(X[, check_input]) | 预测X的分类或者回归，返回[n_samples] |
| predict_log_proba(X) | 预测输入样本的对数概率，返回[n_samples, n_classes] |
| predict_proba(X[, check_input]) | 预测输入样本的属于各个类的概率[n_samples, n_classes] |
| score(X, y[, sample_weight]) | 返回对于测试数据的平均准确率 |
| set_params(**params) | 设置估计量的参数 |
| transform(*args, **kwargs) | 将输入参数X减少的最重要的特征，返回[n_samples, n_selected_features] |
- https://en.wikipedia.org/wiki/Decision_tree_learning
- https://en.wikipedia.org/wiki/Predictive_analytics
- L. Breiman, J. Friedman, R. Olshen, and C. Stone. Classification and Regression Trees. Wadsworth, Belmont, CA, 1984.
- J.R. Quinlan. C4. 5: programs for machine learning. Morgan Kaufmann, 1993.
- T. Hastie, R. Tibshirani and J. Friedman. Elements of Statistical Learning, Springer, 2009.
