题干
有一个无序，元素个数为2N的正整数数组。要求：如何这个数组分割为元素个数为N的两个数组，并使两个子数组的和最接近。
我的解法
我的解法居然没有出现在书上和博客上，所以很让我怀疑我的解法有漏洞，但是又死活找不到。而且我的解法也可以应对原数组中有负数的情况。
如下图所示，将数组排序后：
- 最小的1和最大的20，给上面的一个子数组
- 次小的3和次大的17，给下面的数组
- 然后一直重复
- 剩下两个7和8的时候，一个给上面一个给下面
另外我还写了代码完成这个过程：
/**
* 编程之美 2.18题
* zy的解法，虽然结果正确，但是书上没有这样的解法，很不踏实，但是又找不出错
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define min(x,y) x<y?x:y
/**
* 测试用例
*/
int a1[]={1,5,7,8,9,6,3,11,20,17};
int a2[]={1,199,3,200};
int a3[]={0,0};
int a4[]={-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5};
int *sub1;
int *sub2;
intcomp(const void *a,const void *b)
{
return*(int*)a-*(int*)b;
}
void get2subArray(int *a,int length){
int h;
int *i,*j;
int *p=a;
qsort(a,length,sizeof(int),intcomp);
printf("原数组：");
for(h=0;h<length;++h)
printf("%2d ",*p++);
int subLength=length/2;//这我们要求的子数组的长度，题设要求为原数组的一半
sub1=(int *)malloc((subLength)*sizeof(int));
sub2=(int *)malloc((subLength)*sizeof(int));
int *q1=sub1;
int *q2=sub2;
i=a;
j=a+length-1;
int flag=0; //标志：表明这一次数组的最大数和最小数给一个数组，下一轮给另一个数组
for( ; i<j; ++i,--j){//i<j不能去掉
if(*(i+1)==*j && (length/2)%2==1 ){//后一个条件：原数组长度的一半为奇数，则最后一个子数组拿走原数组的一个元素
*q1=*i;
*q2=*j;
break;
}
if(flag){//这一次给sub1
*q1++=*i;
*q1++=*j;
flag=0;
}else{//这一次给sub2
*q2++=*i;
*q2++=*j;
flag=1;
}
}
printf("\n数组1：");
p=sub1;
for(h=0;h<subLength;h++)
printf("%2d ",*p++);
printf("\n数组2：");
p=sub2;
for(h=0;h<subLength;h++)
printf("%2d ",*p++);
printf("\n");
}
int main() {
int length=sizeof(a1)/sizeof(a1[0]);
get2subArray(a1,length);
printf("\n");
length=sizeof(a2)/sizeof(a2[0]);
get2subArray(a2,length);
printf("\n");
length=sizeof(a3)/sizeof(a3[0]);
get2subArray(a3,length);
printf("\n");
length=sizeof(a4)/sizeof(a4[0]);
get2subArray(a4,length);
}
运行结果：
asd@asd-desktop:~/workspace/test/src$ ./a.out
原数组： 1 3 5 6 7 8 9 11 17 20
数组1： 3 17 6 9 7
数组2： 1 20 5 11 8
原数组： 1 3 199 200
数组1： 3 199
数组2： 1 200
原数组： 0 0
数组1： 0
数组2： 0
原数组：-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
数组1：-4 4 -2 2 -1
数组2：-5 5 -3 3 1
asd@asd-desktop:~/workspace/test/src$ 书上的解法
动态规划
书上说着这题涉及动态规划，加之我对动态规划又不太了解，所以我又把动态规划的思路学习了一遍，很可惜，我仍然觉得学的并不透彻。主要的参考有：
- 算法导论（第三版）第十五章 的刚条切割和最长公共子序列
- 麻省理工学院公开课：算法导论 动态规划，最长公共子序列
- 01背包问题 ：该题和01背包问题极其相似
- 程序员面试100题之十五：数组分割
实际上上面第四个参考的博客已经将这道题讲的非常透彻了，但是我对本题还有一点小小的想法。
一个动态规划的算法设计如下，摘自算法导论 P204
- 刻画一个最优解的结构特征
- 递归地定义最有解的值
- 计算最有解的值，通常采用自底向上的方法
- 利用计算出的信息构造一个最有解
另外，动态规划的时间复杂度我发现都是2^N，如果采用了带备忘录的自顶向下的方法和自底向上法，那么时间复杂度将会是N^2。本题也不例外。分析的话，自己看书或者公开课都可以了解。
未优化解法思路
书上说对于优化前的方法说的不算特别清楚，首先，我们要明白我们的核心，那就是找到两个个子数组，个数都为N，其和最接近SUM / 2，SUM就是给定的原数组 ，个数2N的所有元素的和。如果两个子数组都等于SUM ／ 2，那当然是极好的，不过也有可能，一个子数组的和大于SUM／2，另一个小于SUM／2，这样的情况应该更为常见。
所以根据书上给出的动态规划算法步骤，可以这样完成。
第一步：
- 刻画一个最优解的结构特征，用以下方式完成。
- 用S(k, i)表示前k个元素中任意i个元素的和的集合（写法 摘自博客：程序员面试100题之十五：数组分割 ）
- 比如：S(k, 1) = {A[i] | 1<= i <= k}
- 比如：S(k, k) = {A[1]+A[2]+…+A[k]}
动态规划的第二步：
- 递归地定义最有解的值
- S(k, i) = S(k-1, i) U {A[k] + x | x属于S(k-1, i-1) }（写法 摘自博客：程序员面试100题之十五：数组分割）
动态规划的第三步：
- 计算最有解的值
- 那么我认为就是利用上面的公式写代码。
用了这三步，我们就可以得到S(2N, N)，在这里找出与SUM/2最接近的那个和，并可得到其中所求两个数组的其中一个数组的和。
动态规划的第四步：
- 利用计算出的信息构造一个最有解
- 也就是拿到具体的数组
- 这一步实际也在写代码的时候考虑的。在刚条切割和最长公共子序列都使用了额外的数组，所以我想这里也必然是需要额外的数组的。
优化后的解法思路
优化的方法就是：带备忘录的自顶向下的方法和自底向上法。
这里是自底向上法，这主要是因为动态规划中会计算重复计算大量的相同的子问题，如果我们从小问题计算到大问题，那么小问题已经被事先计算了，所以就不会在计算大问题的时候重复计算小问题了
注意：
- 第34行v的取值。
- 第35行：isOk[i-1][v-a[k]] 这表示比isOk[i][v]更小规模的问题已经解决了之后，再解决的更大规模的问题。
代码如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define min(x,y) x<y?x:y
int main() {
int a[]={1,5,7,8,9,6,3,11,20,17};
int length=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
int subLength=length/2;//这我们要求的子数组的长度，题设要求为原数组的一半
int sum=0;
int i,k,v; //循环用
for(i=0;i<length;i++){
sum+=a[i];
}
printf("sum:%d\n",sum);
/**
* isOk[i][v]的含义是：表示是否找到i个数，使得他们的之和等于v
* 因为我们关心个数为subLength的数组和sum／2的和
* 所以这样初始化数组，数组从0开始，所以必须要+1
*/
int **isOk;
/*动态分配二维数组*/
isOk=(int **)malloc((subLength+1)*sizeof(int *));
for(i=0;i<sum/2+1;i++)
isOk[i]=(int *)malloc(sizeof(*isOk));
isOk[0][0]=1; //不这样数组跑不起来，没有具体含义
/*动态规划的核心所在*/
for(k=0;k<length;++k){ //这里为了考察原数组的每一个元素
for(i = min(k,subLength) ; i >= 1 ; --i){//min存在的含义就是我们要的个数最大只有subLength
for(v=1;v<=sum/2;v++){//同样，v也只会最多到sum/2
if(v>=a[k] && isOk[i-1][v-a[k]]){//第二个判断是看能不能将这个a[k]加入到新组合中
isOk[i][v]=1;
}
}
}
}
for(v = sum/2+1 ; v >= 0 ; --v)
{
if(isOk[subLength][v]){
printf("找到最接近sum／2的数：%d\n",v);
break;
}
}
}
运行结果：
asd@asd-desktop:~/workspace/test/src$ ./a.out
sum:87
找到最接近sum／2的数：43
asd@asd-desktop:~/workspace/test/src$ 进一步思考
书上的答案和网上博客的解答只是得到了离sum／2最近的那个值，也就是子数组的和的大小。那么子数组该如何得到呢？
