垒骰子
赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。
经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！
我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。
假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。
atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。
两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。
由于方案数可能过多，请输出模 10^9 + 7 的结果。
不要小看了 atm 的骰子数量哦～
「输入格式」
第一行两个整数 n m
n表示骰子数目
接下来 m 行，每行两个整数 a b ，表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。
「输出格式」
一行一个数，表示答案模 10^9 + 7 的结果。
「样例输入」
2 1
1 2
「样例输出」
544
「数据范围」
对于 30% 的数据：n <= 5
对于 60% 的数据：n <= 100
对于 100% 的数据：0 < n <= 10^9, m <= 36
解题思路
首先，这题有很多的解题方式，但这里主要使用矩阵快速幂来解决，如果对矩阵快速幂不是很熟悉的玩家，呸，读者。。请看一下前面的两篇文章矩阵快速幂入门和矩阵快速幂进阶
看到这道题目，第一感觉是，这题怎么能用矩阵快速幂做？递推式都没给，怎么求转移矩阵呢？
首先我们理解一下题目
我们先看一下只有一组互斥现象1-2，且n=1、n=2、n=3的情况，也就是以下三组测试数据
#测试数据一 #测试数据二 #测试数据三
1 1 2 1 3 1
1 2 1 2 1 2
- 第一个测试数据（先不考虑侧面的旋转）
| 情况 | 点1朝上 | 点2朝上 | 点3朝上 | 点4朝上 | 点5朝上 | 点6朝上 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 第一层 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
总数 = (1+1+1+1+1+1) × 41 = 24 （侧面每种情况都能进行4种旋转）
- 第二个测试数据（先不考虑侧面的旋转）
| 情况 | 点1朝上 | 点2朝上 | 点3朝上 | 点4朝上 | 点5朝上 | 点6朝上 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 第一层 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 第二层 | 6 | 6 | 6 | 5 | 5 | 6 |
总数 = (6+6+6+5+5+6) × 42 = 544 （侧面每种情况都能进行4种旋转）
- 第三个测试数据（先不考虑侧面的旋转）
| 情况 | 点1朝上 | 点2朝上 | 点3朝上 | 点4朝上 | 点5朝上 | 点6朝上 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 第一层 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 第二层 | 6 | 6 | 6 | 5 | 5 | 6 |
| 第三层 | 34 | 34 | 34 | 28 | 28 | 34 |
首先，解释一下上述表格的意思，比如第二层，点1朝上对应是6意思是：当只有两层的时候，第二层（最上面的一层）顶面的点数是1的情况，一共有6种。
为什么是6？点1朝上，也就说明点4朝下，因为没有和4冲突的，所以第一层怎么放都可以，一共6种（也就是第一层的6种情况相加）
那第二层，点4朝上的时候为什么对应的是5呢？点4朝上，也就说明点1朝下，因为1-2是互斥现象，所以第一层中点2朝上的情况就不能加上了，所以一共5种。
现在到了第三层。第三层，点1朝上的情况一共有34种（再重复一遍，第三层点1朝上的情况，是指最上面那个骰子点1朝上，然后下面两个骰子可以存在的所有情况）。为什么是34？因为点1朝上，也就是说点4朝下，和任何数字都不冲突，所以是第二层的所有情况相加（是不是感觉进DP的坑了）
然后看下第三层，点4朝上的情况，点4朝上也就说明点1朝下，因为1-2是互斥现象，所以第三层中点4朝上的情况 = 第二层中点1+点3+点4+点5+点6朝上的情况的总和
这真的不是DP吗？和矩阵快速幂有啥关系
乘号左边是转移矩阵，右边是各个状态的值
乘号右边，从上到下分别是
点1朝上、
点2朝上……的情况，从左到右分别是第一层、第二层、第三层的情况。
那是怎么得到这个转移矩阵的呢？？再回上去看下，刚才递推出来的各层的情况，除了和DP类似，是不是也和一个递推公式很类似呢？
dp[i][j] = ∑ dp[i-1][j] (1<=j<=6)
其中dp[i][j]表示第i层，点j朝上的情况
如果仅仅是单纯的前一层的各个情况相加，我们的转移矩阵可以是这样的
但是我们还有一步，需要把互斥现象组去掉。那怎么去呢？把该点置0？对！！比如互斥组1-2，当点4朝上时，点1就朝下，这时，子层不能加上点2朝上的情况，所以需要把A[4][2]置0。当点5朝上时，点2就朝下，子层不能加上点1朝上的情况，所以需要把A[5][1]置0
这里的A[5][1]表示第5行第1列，在真正意义上的数组计算时，使用的是A[4][0]
for(int i=0; i<m; i++){
cin>>a>>b;
temp[dp[a]-1][b-1] = temp[dp[b]-1][a-1] = 0;
}
上述代码中，比如输入互斥现象1 3。因为点1对面是点5。所以当点5朝上时，点1朝下，子层不能出现点3朝上的情况。同理点3对面是点6，所以当点6朝上时，点3朝下，子层中不能出现点1朝上的情况。因为数组从0开始，所以有temp[dp[a]-1][b-1] = temp[dp[b]-1][a-1] = 0;
不过最后还需要注意一点！4n不要忘了，因为侧面的情况开始就没考虑。但是每一层的侧面有4种情况，所以第n层的总情况只要将上述结果乘以4n就可以了。
完整代码
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
const long long int N = 1000000007;
void Matrix(long long int (&a)[6][6],long long int b[6][6]){
long long int tmp[6][6] = {0};
for(int i = 0; i < 6; ++i)
for(int j = 0; j < 6; ++j)
for(int k = 0; k < 6; ++k)
tmp[i][j] = (tmp[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % N;
for(int i = 0; i < 6; ++i)
for(int j = 0; j < 6; ++j)
a[i][j] = tmp[i][j];
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
long long int n,m,a,b,sum = 0,p = 4,temp[6][6],cot[6][6] = {0},dp[7] = {0,4,5,6,1,2,3};
cot[0][0] = cot[1][1] = cot[2][2] = cot[3][3] = cot[4][4] = cot[5][5] = 1;
fill(temp[0],temp[0]+36,1); //初始化为1
cin>>n>>m;
for(int i=0; i<m; i++){
cin>>a>>b;
temp[dp[a]-1][b-1] = temp[dp[b]-1][a-1] = 0; //互斥位置0
}
m = n - 1;
while(m){ //计算矩阵快速幂
if(m & 1) Matrix(cot,temp);
Matrix(temp,temp);
m /= 2;
}
for(int i=0; i<6; i++)
for(int j=0; j<6; j++)
sum = (sum + cot[i][j])%N; //结果集之和
while(n){ //同快速幂求解4^n
if(n&1) sum = (sum*p)%N; //注意一开始是sum开始乘的
p = (p*p)%N;
n /= 2;
}
cout<<sum<<endl;
return 0;
}
由于找不到提交代码的地方，所以这不算是已经AC的代码，不过试了一些数据，和标程的输出都一样
