【离散数学】图论(八)平面图以及涂色问题

《【离散数学】图论(八)平面图以及涂色问题》

正文之前

在图论中,平面图是可以画在平面上并且使得不同的边可以互不交叠的图。而如果一个图无论怎样都无法画在平面上,并使得不同的边互不交叠,那么这样的图不是平面图,或者称为非平面图。 ——Wikipedia

在这篇文章中,我们介绍两个方面内容:

  • 平面图
  • 涂色问题(四色定理)

正文

平面图

  1. 简介
  2. 判断(欧拉公式)
  3. 串联约减
  4. 同胚
  5. 库拉托夫斯基(Kuratowski)定理
1. 简介

在一个平面画出一个图,如果图的每条边都互不相交,则称这个图为平面图

完全图的文章中,介绍了K4,这里我们以此为例

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本来以为K4不会是平面图,会有两条边相交,但是我们做个变形,将一条边画出去,就将K4画成了平面图

2. 判断

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在K4内,图被分为4个(face of region):A, B, C, D

K4内共有:

  • 4个面(f)
  • 4个结点(v)
  • 6条边(e)

为了判断一个图是否为平面图,我们使用

欧拉公式:f = e – v + 2 (面数 = 边数 – 结点数 + 2)

3. 串联约减

在一个图中,有一个度为2的结点和两条边(v, v1)和(v, v2),而且v1 ≠ v2,则称(v, v1)和(v, v2)是串联的

串联约减就是将结点v从图中删去,用(v1,v2)代替(v, v1)和(v, v2)

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上图就采用串联约减删去结点e,边(a, e)和(e, c)被替换为(a, c)

4. 同胚

如果图G1可以通过串联约减(一步或多步)变为与G2同构的图,则称G1和G2是同胚的,反之也是

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5. 库拉托夫斯基定理

一个图G是平面图当且仅当G中不包含与K5或者K3,3同胚的子图

可用库拉托夫斯基定理判断图G是不是平面图,举个书本中的例子

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移除图中的边(a, b),(e, f),(g, h),经过串联约减之后,就将图变为了K3,3,所以不是平面图

涂色问题

  1. 简介
  2. 四色定理
1. 简介

给出一个平面图,给图的每个面涂上颜色,使得每两个相邻的面的颜色不同,一共需要多少种颜色?

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这张图用了四种颜色涂了五个面

2. 四色定理

四色定理是一个著名的数学定理:如果在平面上划出一些邻接的有限区域,那么可以用四种颜色来给这些区域染色,使得每两个邻接区域染的颜色都不一样                  ——Wikipedia

用一个复杂一点的图试试

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关于平面图的介绍就到这里了,谢谢大家!

    原文作者:胖若两人_
    原文地址: https://www.jianshu.com/p/1d0bfe479353
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