hannuota.gif
法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个关于印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针，印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的
汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。这就是
汉诺塔问题。
针对这个问题，首先考虑其最小步数。设有
n个金片的汉诺塔问题的最小步数为
F(n)，则最小步数为：
step.png
人们通常利用递归的方法求解汉诺塔问题。递归程序的实现比较简单，但是难于理解。下面给出python3的递归程序：
def 汉诺塔(count, 开始柱, 过渡柱, 目标柱):
#count:金片的个数
if(count == 1):
print('柱%s ---》柱%s'%(开始柱,目标柱))
return
汉诺塔(count-1, 开始柱, 目标柱, 过渡柱)#首先将除去最下面一个盘子之外的所有盘子移动到过渡的柱子上
汉诺塔(1, 开始柱, 过渡柱, 目标柱)#然后将最下面的盘子移动到目标柱子上
汉诺塔(count-1, 过渡柱, 开始柱, 目标柱)#最后将过渡区的所有盘子移动到目标柱子上
汉诺塔(3, 'A', 'B', 'C')
#运行结果
柱A ---》柱C
柱A ---》柱B
柱C ---》柱B
柱A ---》柱C
柱B ---》柱A
柱B ---》柱C
柱A ---》柱C
本文利用最小的两个金片移动的规律以及其他金片移动的规则来实现解决汉诺塔问题的程序。为了更清楚了了解其中的规律以及规则，下图以4个金片为例，展示出移动的整体过程：
4.png
规律总结
可以看出整个过程可看作绿色区域(第1-3步、第5-7步、第9-11步、第13-15步)和白色区域(第4、8、12步)的循环叠加。 其中绿色区域是最小的2个金片的移动，只不过每一次的开始柱不同。 并且不难看出，开始柱，目标柱之间的规律(0、1、2为柱子的编号):
开始 过渡 目标
0 1 2
2 0 1
1 2 0
规则确立
白色区域是其他金片的移动，此区域的开始柱与目标柱没有明显的规律可依，但是可以找到规则:
1：白色区域的上一步[也就是上一个绿色区域的最后一步]停留的柱子不可能是开始柱[否则，违背最小步数原则]；并且因为此柱最上面刚移动过来的肯定是最小的金片，因此也不可能是目标柱[否则，违背小金片在大金片之上原则]；
2：柱子上没有金片的不可能作为开始柱；
3：如果某个柱子上最上面的金片大于另一个柱子上，也不可能为开始柱；
根据规则1可知道开始柱只有2种可能，加上规则2，3的筛选，便可判断出每一个白色区域的开始柱和目标柱，从而可模拟整个移动过程。
Python3实现
第一部分：三阶汉诺塔问题的移动方案输出
#柱子的名称设置
zhuzi = ['A', 'B', 'C']
#金片的个数，大于1的整数
panzi = 6
#利用字典储存每个柱子的金片信息
statusdict = {}
statusdict['A'] = list(range(1, panzi + 1))#开始时所有金片在柱子A上
statusdict['B'] = []
statusdict['C'] = []
因为需要实现规则，因此需要每一次移动后更新各个柱子上的金片信息，因此需要定义更新字典的函数updata。
#定义更新字典的函数
def updata(startkey, endkey, sdict):#startkey:开始柱，endkey:目标柱，sdict：存储柱子上金片信息的字典
if len(sdict[startkey]) == 0:#如果开始柱没有金片，则确定不是开始柱，对应规则2
return False
if len(sdict[endkey]) != 0:
if sdict[startkey][0] > sdict[endkey][0]:#对应规则3
return False
#开始柱删除金片
stlist = sdict[startkey].copy()
forst = stlist[0]#要移动的金片
del (stlist[0])
sdict[startkey] = stlist.copy()
#目标柱增加金片
endlist = sdict[endkey].copy()
endlist.insert(0, forst)
sdict[endkey] = endlist.copy()
return sdict
下面给出最小的2个金片移动规律的函数last。
# 2个盘子移动的方案
def last(sydict,signnum=0, zhu=zhuzi):#移动只和开始柱有关系
movepath = []#存储移动的方案
movepath.append([zhu[signnum], zhu[(signnum + 1) % 3]]) # 第一步：开始柱===》过渡柱
sdict = updata(zhu[signnum], zhu[(signnum + 1) % 3], sydict)#更新字典
movepath.append([zhu[signnum], zhu[(signnum + 2) % 3]]) # 第二步：开始柱===》目标柱
sdict = updata(zhu[signnum], zhu[(signnum + 2) % 3], sdict)#更新字典
movepath.append([zhu[(signnum + 1) % 3], zhu[(signnum + 2) % 3]]) # 第三步：过渡柱===》目标柱
sdict = updata(zhu[(signnum + 1) % 3], zhu[(signnum + 2) % 3], sdict)#更新字典
return movepath, sdict
下面给出最终的移动方案的函数ali。
#金片移动=多次[最小的2个盘子的规律移动+其他盘子的规则移动] + 一次[最小的2个盘子的规律移动]
#最小的盘子的移动靠规律 其他盘子的移动靠规则
def ali(count=panzi, signnum=0, zhu=zhuzi, sdict = statusdict):
if count == 2:#只有2个盘子，直接last函数就可以出结果
return last(sdict)[0]
else:
mode = []#存储所有的移动方案
gu = 2 ** (count - 2) + 1#判断循环的次数
while gu > 2:
# 最小的两个盘子的规律移动
result = last(sdict, signnum)
mode += result[0]
sdict = result[1]
# 中间盘子的移动，因为第三步移动完成后，柱子的最上方是最小的，因此这个柱子既不可能是目标柱，也不可能是开始柱子。
#所以存在两种情况， 开始柱子 目标柱子：[zhu[signnum],zhu[(signnum + 1) % 3]]
# 或者[zhu[(signnum + 1) % 3],[zhu[signnum]]
#以上情况只会有一个成立。不成立的情况只有2种：要不开始柱没有可移动的盘子，要不就是移动后会出现大的在小的上面
judge = updata(zhu[signnum], zhu[(signnum + 1) % 3], sdict)
if judge:#没有违背，说明zhu[signnum]为开始柱
mode += [[zhu[signnum], zhu[(signnum + 1) % 3]]]
sdict = judge.copy()
else:#违背了
mode += [[zhu[(signnum + 1) % 3],zhu[signnum]]]
jjg = updata(zhu[(signnum + 1) % 3], zhu[signnum], sdict)
sdict = jjg.copy()
signnum = int((signnum + 2) % 3)#更新为下一个开始柱的编号
gu -= 1
mode += last(sdict, signnum)[0]#最后一个绿色区域的移动
return mode
#程序输出
for istep in ali(count = 3):
print(istep)
#运行结果
['A', 'B']
['A', 'C']
['B', 'C']
['A', 'B']
['C', 'A']
['C', 'B']
['A', 'B']
#结果其实和递归程序是一样的，只要把"B"、"C"对换
第二部分：三阶汉诺塔问题的移动方案动态展示
动态展示的方案：
1，每一步移动完成后，绘制出各个柱子的状态图片；
2，为了展示出移动的过程，也需要绘制一些移动中的图片；
3，利用python3库imageio将所有图片合成gif格式；
下面给出绘图的一些基本设置：
图片中文设置
from pylab import mpl # 作图显示中文
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong'] # 设置中文字体为新宋体
import matplotlib.pyplot as plt
金片颜色
#不同大小金片的颜色集合，如果金片多于10种，则随机选择颜色，否则固定
from matplotlib import colors as mcolors
colorname = ['black','maroon','cyan','yellow','red','blue','green','tan','navy','indigo']
colorset = []
import numpy as np
for jcolor in colorname:
colorset.append(mcolors.cnames[jcolor])
lastcolor = colorset
if panzi > 10:
lastcolor = np.random.choice(np.array(list(mcolors.cnames.keys())), panzi, replace=False)
图片、金片、柱子高度
#图片的高度固定为10， 宽度固定为16
#金片数不大于10，高度固定0.6，否则平均
if panzi <= 10:
height = 0.6
else:
height = round(8/panzi, 1)
#柱子的高度
if panzi <= 6:
zhuzihei = panzi + 2
else:
zhuzihei = 8
金片宽度
#宽度设置，用列表从小到大表示
widthlist = np.linspace(0.6, 4.2, num=panzi)
为了动态图片的效果展示，柱子的位置设置为固定不变的。
#存储柱子位置的字典
zhuzidict = {'A':[4,0], 'B':[8,0], 'C':[12,0]}
输出每一根柱子上的金片对应的绘制图形需要用到的path的函数outfigure
#根据金片的列表返回相应的path列表的函数
def outfigure(stkey, sidict, hei = height, wid = widthlist, zdi = zhuzidict, zcolo = lastcolor):
ractlist = []
ssartpoint = zdi[stkey]#起始的绘制点
for spa in sidict[::-1]:#倒着画图，先画大的
heng = ssartpoint[0] - (wid[spa - 1] / 2)
zong = ssartpoint[1]
ractstr = 'plt.Rectangle((%.4f, %.4f), %.4f, %.4f, facecolor="%s")'%(heng, zong, wid[spa - 1],hei, zcolo[spa - 1])
ssartpoint = [ssartpoint[0], ssartpoint[1] + hei + 0.02]#更新绘制点
ractlist.append(ractstr)
return ractlist#返回path的列表
对应动态展示方案中的第1步，绘制柱子上含有的金片状态信息的函数combine，输出的是一次移动完成后或者说是移动之前的图片。
#绘制柱子状态的函数
def combine(panzizhuangtai, stepnum, zhei = zhuzihei, pco = panzi):
#首先绘制柱子，柱子的颜色固定
rect_a = plt.Rectangle((4, 0), 0.1, zhei, facecolor="#ff0000")
rect_b = plt.Rectangle((8, 0), 0.1, zhei, facecolor="#00ff00")
rect_c= plt.Rectangle((12, 0), 0.1, zhei, facecolor="#0000ff")
fig, ax = plt.subplots()
ax.add_patch(rect_a)#绘制柱子A
ax.add_patch(rect_b)#绘制柱子B
ax.add_patch(rect_c)#绘制柱子C
#为了美观，关闭x、y轴
ax.set_axis_off()
#绘制每个柱子的当前盘子状态
for hzhuzi in panzizhuangtai:
if len(panzizhuangtai[hzhuzi]) != 0:
#开始绘制
for ftra in outfigure(hzhuzi, panzizhuangtai[hzhuzi]):
ax.add_patch(eval(ftra))
# 柱子的设置
plt.text(3.8, zhei + .2, 'A柱')
plt.text(7.8, zhei + .2, 'B柱')
plt.text(11.8, zhei + .2, 'C柱')
#图片的设置
plt.ylim(0, 10)
plt.xlim(0, 16)
if stepnum != 2 ** pco - 1:
plt.title('%d盘三阶汉诺塔 移动%s步后状态'%(pco, stepnum))
else:
plt.title('%d盘三阶汉诺塔移动%s步后完成 oh yes ！！！' % (pco, stepnum))
plt.savefig(r"C:\Users\GWT9\Desktop\hannuota\%s.png"%stepnum)#保存以便合成gif
#plt.show()
plt.close()
移动中从起始点到中间点的连线上以及中间点到终止点的连线上分别选择一定数量的点，作为绘制移动中的金片的参考点。
#根据两条线总共选择21个点，前者选择10个，后者11个
def selectpoint(stkey, endkey, stsidict, enddict, zdi = zhuzidict, hei = height):
#首先得到起始点
startpoint = [zdi[stkey][0], len(stsidict) * hei]
#再得到终止点
endpoint = [zdi[endkey][0], len(enddict) * hei]
#中间点，纵坐标固定，横坐标为起始点与终止点横坐标和的一半
middlepoint = [(startpoint[0] + endpoint[0]) / 2, 9]
#起始点到中间点的11个点
sm = []
for shrng in np.linspace(startpoint[0], middlepoint[0], 11):
sm.append([shrng, (middlepoint[1] - startpoint[1]) / (middlepoint[0] - startpoint[0]) * (shrng - startpoint[0]) + startpoint[1]])
#中间点到结束点的11个点
for miorng in np.linspace(middlepoint[0], endpoint[0], 11):
sm.append([miorng,
(middlepoint[1] - endpoint[1]) / (middlepoint[0] - endpoint[0]) * (miorng - endpoint[0]) +
endpoint[1]])
return sm[1:]#舍去第一个点，剩余21个点
对应动态展示方案中的2，每一步移动中的中间的移动都输出一次图片的函数move。
#绘制中间移动状态的函数
def move(panzizhuangtai, ppiont, stkeynum, s1, s2, stepnum, silenum, zhei = zhuzihei,hei = height, wid = widthlist, zcolo = lastcolor, pco = panzi):
#首先绘制柱子
rect_a = plt.Rectangle((4, 0), 0.1, zhei, facecolor="#ff0000")
rect_b = plt.Rectangle((8, 0), 0.1, zhei, facecolor="#00ff00")
rect_c= plt.Rectangle((12, 0), 0.1, zhei, facecolor="#0000ff")
fig, ax = plt.subplots()
ax.add_patch(rect_a)#绘制柱子A
ax.add_patch(rect_b)#绘制柱子B
ax.add_patch(rect_c)#绘制柱子C
#为了美观，关闭x、y轴
ax.set_axis_off()
#绘制每个柱子的当前盘子状态
for hzhuzi in panzizhuangtai:
if len(panzizhuangtai[hzhuzi]) != 0:
#开始绘制
for ftra in outfigure(hzhuzi, panzizhuangtai[hzhuzi]):
ax.add_patch(eval(ftra))
#绘制移动中的盘子
rect = plt.Rectangle((ppiont[0] - (wid[stkeynum - 1] / 2), ppiont[1]), wid[stkeynum - 1], hei, facecolor=zcolo[stkeynum - 1])
ax.add_patch(rect)
# 柱子的设置
plt.text(3.8, zhei + .2, 'A柱')
plt.text(7.8, zhei + .2, 'B柱')
plt.text(11.8, zhei + .2, 'C柱')
#图片的设置
plt.ylim(0, 10)
plt.xlim(0, 16)
plt.title('%d盘三阶汉诺塔 第%s步: %s柱---》%s柱 移动中'%(pco, stepnum,s1, s2))
plt.savefig(r"C:\Users\GWT9\Desktop\hannuota\%s_%s.png" %(stepnum,silenum))#保存以便合成gif
plt.close()
根据ali函数输出的移动方案，开始输出图片。
#再重新定义一遍保存初始状态的字典，虽然前面已经定义过
staert = {}
staert['A'] = list(range(1, panzi + 1))
staert['B'] = []
staert['C'] = []
#先画开始的汉诺塔的状态
step = 0
combine(staert, stepnum=step)
#开始移动
for hh in ali():
fir = staert[hh[0]][0]
jianhao = staert[hh[0]][1:].copy()
#获得所有的中间点
allmiddle = selectpoint(hh[0], hh[1], staert[hh[0]], staert[hh[1]])
staert[hh[0]] = jianhao.copy()
#开始绘制中间过程
step += 1
sile = 1
#绘制移动过程中的图片
for mm in allmiddle:
move(staert, mm, fir, hh[0], hh[1], stepnum = step, silenum = sile)
sile += 1
du = staert[hh[1]].copy()
du.insert(0, fir)
#更新字典
staert[hh[1]] = du.copy()
#一个金片移动完成后，绘制状态
combine(staert, stepnum=step)
最后一步，对应动态展示方案中的3，将上面生成的图片按照产生的顺序利用imageio合成gif格式的图片。
#最终的图片合成gif
import os
os.chdir(r'C:\Users\GWT9\Desktop\hannuota')#设置当前路径，也就是存储图片的路径
import imageio#引入库
#所有的图片name集合
namelist = ['0.png']#开始状态的图片名称
for jjj in range(1, 2**panzi):
for hhgu in range(1, 22):#中间移动过程一共选择了21个点
namelist.append('%s_%s.png'%(jjj, hhgu))
namelist += ['%s.png'%jjj] * 10
#创建gif的函数
def create_gif(image_list, gif_name):
frames = []
for image_name in image_list:
frames.append(imageio.imread(image_name))
imageio.mimsave(gif_name, frames, 'GIF', duration=0.1)
return
#运行函数
create_gif(namelist + [namelist[-1]] * 10, 'hannuota.gif')
最终的动态结果见文章开头，因为gif大于10M，简书无法上传，所以中间点只选择了5个。
