说在前面
最近在学习拟阵，便想着开一个系列。一来总结一下知识，加深自己的理解；二来分享给大家，希望米娜桑喜欢。文章大抵都是抄论文，或者抄抄维基啥的。
最好有的先修知识：
- 图论
- 线代
- 抽代（其实不是很重要）
- 计算复杂度
拟阵简介
拟阵（Matroid），最开始由Hassler Whitney于1935年提出，不算是一个新颖的技术，但是由于其在组合数学，算法，代数，拓扑，加密等领域有着许许多多的应用，直到现在，还是大家非常乐于研究的工具。
笔者作为研究算法的，所以对其他领域其实不是很了解，故而我会从算法的角度谈谈这个工具。通过这个系列，大家会发现，大家熟悉的Kruskal最小生成树算法，匈牙利算法等等，都可以被拟阵解释，甚至应用在别的问题上。
想必学过线性代数的同学都知道“线性独立”这个概念，既是我们有一组同维度的向量 ，如果他们中的任意一个都不能被其他的向量线性表出，那么他们便是线性独立的。
拟阵就是将这独立的概念扩展在别的组合问题（尤其是图论）上，从而用类似线性代数的方式来研究算法问题，事实证明，这样的做法是非常成功的。
拟阵诞生
拟阵定义
拟阵有许许多多的定义方式，我这里讲一个最常用的定义方式。
定义1.1：给定一个全集 ，一个
上的集族（Family）
被称作拟阵，记作
，如果集族
满足：
- 如果
，那么
- 如果
且
，那么存在
使得
中的元素被叫做边，而
中的集合
叫做独立集。第二条叫做拟阵的遗传性质，第三条叫做拟阵的交换性质。这三条又被叫做拟阵公理。往往，交换性质是考察一个集族是不是拟阵的关键，因为前两个性质是很容易满足的。画了个交换性质的示意图：
交换性质
下面给出两个非常重要的概念：
- 基（Basis）：一个极大独立集叫做基。
- 环（Circuit）：一个极小非独立集叫做环。
有了基和环的概念，我们马上就能意识到一个引理：
引理1.1：给定一个拟阵，这个拟阵中的所有基，具有同样的大小。
引理1.1可以直接从拟阵定义的第三条（交换性质）得到。事实上，如果一个拟阵存在两个大小不同的基，那么小的那个，总能利用交换性质，变得和大的一样大，这与基是极大的矛盾。
之前我们说过，拟阵的概念是从线性代数里面扩展出来的，所以这里说的基，和一组向量基是同一个东西，既然不同的向量基之间是可以相互转换的，那么拟阵中的基应该也能。所以我们有了这么一个定理：
定理1.1（基交换定理）：对于一个拟阵 和这个拟阵上两个不同的基
，对于任意
，存在
，使得
是独立的。
证明：考虑集合 ，由于
，且
是独立的（遗传性质），那么由交换性质，总有
使得
是独立的（感谢 @TargetLocked的指正）。
定理1.1
秩函数
类比线代中的秩，拟阵中也有秩：
定义1.2（秩函数）：给出一个拟阵 ，对于任意一个集合
，我们定义其秩函数为，
的子集中极大独立集的大小，记作
。
有同学就会问啦，那要是 的子集中极大独立集的大小不一样怎么办呢？事实上，通过类似引理1.1的思路，我们很容易就能证明
的子集中极大独立集的大小是一致的。
我们来考察一下这个秩函数的性质：
性质1.1：
- 有界性（Bounded）：
- 单调性（Monotonous）：
- 次模性（Submodular）：
有界性和单调性是非常容易想到的。我们这里证明一下次模性。
证明：考虑 的一个基
，有拟阵的交换性质，我们可以把它扩展成
的基
或者
的基
或者
的基
。现在，考虑
的基
，我们把它分为三部分
，由于遗传性质，
依然是独立集。由构造我们知道
，然而
是极大独立集，所以
。所以我们有：
证毕。
次模性的证明
秩函数的三条性质，可以当作新的拟阵公理，推出定义1.1的三条公理。所以从秩函数的角度出发，我们甚至能重新定义拟阵。推导的过程倒也不是很困难，鉴于过程繁杂，这里就不赘述了。
这一节介绍定义就到这里啦，下一节讲讲一些拟阵的例子，都很有意思哒。
