0. 树与查找

一棵有n个结点的平衡二叉树的高度为O(lg(n))，即使查找到叶子结点，花的时间为O(lg(n))，远胜过O(n)，所以树在需要搜索优化的地方用得比较多。而我们的二叉搜索树呢，顾名思义，就是用来做搜索用的，本文将讲述它的原理。

另外树如果不平衡，则容易退化成链表，所以我们要想办法让树保持平衡。红黑树，就是其中一种非常高效，应用范围极广的一种类平衡树（为了优化性能，它并不要求绝对平衡）。本文集将详细讲述红黑树的原理以及代码实现。

1. 二叉搜索树的定义

二叉搜索树又叫二叉排序数，如果树不为空的话，对树上的任意一个结点x，具有如下性质：

1. 如果x的左子树存在的话，则x左子树上所有的结点的值都小于x；
2. 如果x的右子树存在的话，则x右子树上所有的结点的值都大于x。

Tips: 二叉搜索树不允许有重复值。拿我们常用的Map来说，如果插入重复的值，要么覆盖原来的值，要么插入失败。

本文中所提到的树默认都是二叉搜索树，设根为root，对结点x，它的左结点用x.left表示，右结点用x.right表示，父结点用x.parent表示。为了便于说明，对结点x，我们记它左结点为L, 右结点为R，父结点为P，祖父结点为PP，x附带的数据为x.data。

图1-二叉搜索树

下面举例都针对：图1-二叉搜索树。建议把该图下下来查看，免得频繁找图来回切换。

2. 子树的最小结点与最大结点

对以x为根的子树：

• 最小值：为该树最左边的结点，即从L开始一路往左下方搜索；如果L不存在，则最小值即为x。如：找以结点3为根的子树的最小值，从1(L)开始，沿左下方搜索，直到0；结点13为根的子树，因为没有左结点，所以最小值即为13本身。
• 最大值：跟最小值对称，这里不做进一步说明。

    private Node min(Node node) {
        while (node.left != null) {
            node = node.left;
        }
        return node;
    }

    private Node max(Node node) {
        while (node.right != null) {
            node = node.right;
        }
        return node;
    }

3. 树结点的前驱与后继

3.1 前驱

结点的前驱是比它小的结点里面最大的结点。

• 若L存在，则x的前驱为x左子树最大的结点（即L开始一路往右下方搜索）。如：7的前驱为6（从7的左结点3开始一路往右），1的前驱为0（从0开始一路往右，因为右边没有了，所以停止在0的地方）；
• 若L不存在：
  1. 如果P.right == x，则P < x，又因为P大于P左子树里面的全部结点的值，所以P就是x的前驱，如：结点14的前驱为13。
  2. 否则，x的前驱为P的前驱，x指向P继续查找，如：结点11，P.right != x，故设x = 12继续查找。因为对12有P.right == x，所以10即为12的前驱，所以11的前驱为10。

    public Node predecessor(Node node) {
        if (node.left != null) {
            return max(node.left);
        }
        Node p = node.parent;
        while (p != null && p.left == node) {
            node = p;
            p = p.parent;
        }
        return p;
    }

3.2 后继

后继是比它大的结点里面最小的结点。跟前驱对称，这里不做进一步的说明。记住一个现象，就是x左右子树都存在时，x的后继没有左结点（后继.left == null）。这一点在后面将会用到，有助于理解代码。

    public Node successor(Node node) {
        if (node.right != null) {
            return min(node.right);
        }
        Node p = node.parent;
        while (p != null && p.right == node) {
            node = p;
            p = p.parent;
        }
        return p;
    }

3.3 前驱与后继示例

大家可以试着随便从上面的树上找一个结点，然后按上面的规则找一下它的前驱与后继（注意：不要从数字上直接得到答案，因为上面这棵树是从0到15的排序数，所以前驱-结点-后继就是3个连续的数。但反过来，可以用这个结论来验证你的答案是否正确）。

• 结点1的前驱为0，后继为2；
• 结点3的前驱为2，后继为4；
• 结点7的前驱为6，后继为8；
• 结点10的前驱为9，后继为11；
• 结点9只有前驱8，后继为10；

3.4 快速构造一个树，帮助回想起前驱后继的全部逻辑

写代码的时候，如果万一忘记了前驱与后继的逻辑，3-1-5-2-4这样，前5个自然数构成的以3为根对称分布的树，能快速帮助回忆起相关细节来。

图2-前驱与后继

4. 数据的查找

搜索的算法比较简单，从根开始依次比较，设当前结点为x，待查找的数据为data，如果x.data == data，则找到了，返回结果；如果data < x.data，则继续查找x.left，否则继续查找x.right 。

    public Node search(T data) {
        if (data == null) {
            return null;
        }
        Node node = root;
        while (node != null) {
            int compare = data.compareTo((T) node.data);
            if (compare == 0) {
                return node;
            }
            if (compare < 0) {
                node = node.left;
            } else {
                node = node.right;
            }
        }
        return null;
    }

5. 插入

1. 如果root不存在，则将插入的结点设为根，插入结束；
2. 否则，从根开始依次比较，设p为待插入结点的父结点，设当前结点为x，待插入的数据为data。若data < x.data，则需要插入到左边的某个位置：p = x; x = x.left，否则插入到右边的某个位置：p = x; x = x.right。当x == null时，将待插入的结点挂在p下面即可。

    public void insert(T data) {
        Node node = new Node();
        node.data = data;
        if (root == null) {
            root = node;
            return;
        }
        Node child = root;
        Node p = null;
        while (child != null) {
            p = child;
            if (data.compareTo((T) child.data) < 0) {
                child = child.left;
            } else {
                child = child.right;
            }
        }
        node.parent = p;
        if (data.compareTo((T) p.data) < 0) {
            p.left = node;
        } else {
            p.right = node;
        }
    }

6. 删除

1. 如果L不存在，则用R替代x即可；
2. 如果R不存在，则用L替代x即可；
3. 如果L与R都存在，我们需要找到最接近x的且比它大的结点来替代x（这结点不就是上文提到的后继嘛，不妨设该后继结点为s）。另外特别注意，x的左右结点还需要在原来的地方，所以按下面的逻辑来处理：
   • 处理左结点：根据上文提到的，s的左子树不存在，所以可放心地把x.left挂在s下面: s.left = x.left；
   • 处理右结点：如果x.right == s，则s就是x的右结点，所以x.right不需要处理。
   • 否则，要想执行s.right = x.right，需要把s.right先腾出来。怎么腾呢？因为s移走了，所以s的位置需要让s的右结点替代（为什么是右结点？前方提到过，这种情况下s没有左结点，所以只能是右结点来替代。另外注意了，右结点可能为null），这时候s的右结点就顺便腾出来了。然后将x.right挂在s下面。

    public boolean delete(T data) {
        Node node = search(data);
        if (node == null) {
            return false;
        }
        if (node.left == null) {
            replace(node, node.right);
            return true;
        }
        if (node.right == null) {
            replace(node, node.left);
            return true;
        }
        Node successor = min(node.right);

        // 步骤3没有特定顺序，你可以试着随意变换顺序。
        // 3. 将node.left挂在successor下面。
        successor.left = node.left;
        node.left.parent = successor;

        // 1. 处理右结点：步骤1必需在步骤2前面进行，否则successor移动，下面的if判断的结果会变化。
        if (node.right != successor) {
            replace(successor, successor.right);
            node.right.parent = successor;
            successor.right = node.right;
        }

        // 2. 将successor替代node。
        replace(node, successor);

        return true;
    }

    // replace只是把新的结点挂在老结点的父结点下面，老结点脱离了父结点而处于游离状态。
    // 但新、老结点的左右孩子，都不在本方法中处理，请额外处理。
    private void replace(Node oldNode, Node newNode) {
        Node parent = oldNode.parent;
        if (parent == null) {
            root = newNode;
        } else {
            if (parent.left == oldNode) {
                parent.left = newNode;
            } else {
                parent.right = newNode;
            }
        }
        if (newNode != null) {
            newNode.parent = oldNode.parent;
        }
    }

6.1 代码说明

有结点变动的方法（插入、删除、替换），各指针要不重不漏。

注意到原successor方法中

        if (node.right != null) {
            return min(node.right);
        }

我们这里已经满足node.right != null，所以min(node.right)就是successor。

另外注意结点替代顺序，先用s的右结点替代s把s.right空出来（此时s可以理解为游离状态，没有父结点），然后把x.right挂在s.right的地方，最后再把s替代x。

源码

https://github.com/readyou/algorithm-introduction-code/blob/master/src/main/java/me/wxl/demo/data/struct/BinarySearchTree.java

作者微信

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