普通的二叉搜索树在最坏的情况下，可能退化成一个链表。而又因为二叉搜索树的所有操作的性能（添加，删除，查找等），与二叉搜索树的高度有关。在最坏的情况下，二叉搜索树的高度和元素个数相同，此时二叉搜索树的效率降为了O(n)级别。

所以为了防止我们的二叉搜索树退化成一个链表，就产生了平衡二叉树。平衡二叉树可以保证它的左右两个子树的高度差不会超过1。平衡二叉树有很多实现，一个经典实现就是红黑树。

红黑树

在红黑树中将树中的节点划分为两种状态，分别用黑色和红色来表示。

红黑树为了保证自己能够平衡子树，所以制订以下五个规则：

1、每个节点必须有颜色，要么黑色，要么白色，没有别的颜色。
2、根节点必须是黑色
3、所有的空节点(nil节点)都认为是黑色节点。
4、红色的节点不能连续，即一个红色的节点，它的父节点和子节点不能也是红色的，
5、无论从哪一个节点起始，到它每个叶子节点的路径中，黑色节点数量必须相同。

在对红黑树进行添加、删除等操作之后，必须使红黑树符合这5个规则。
那么问题来了，在添加删除操作之后，树中节点的数量都变了，是怎么保证整个树满足上述这些规则呢？
这里涉及到3种操作，变色、左旋和右旋。通过这个三种操作，在增删节点之后调整树的形状结构，使它满足上述5个规则。这也是红黑树能保持平衡的原因。

变色操作我们在下文的添加、删除节点的实际操作中，再进行在描述。

先来说一下左右旋。

左旋

左旋是指以某节点为支点，进行逆时针旋转。如下图，是以2为支点进行的左旋：
图1.png

文字描述一下就是，2的右孩子节点4，变为了2的父节点，2由父节点变为4的左孩子。同时，4原来的左孩子变为2的右孩子。

右旋

右旋与左旋相反，即以某节点为支点进行顺时针旋转。同样，我们看下图，是以5为支点进行的右旋:

图2.png

文字描述同样反过来，5的左孩子节点3，变为5的父节点，5由父节点变为3的右孩子。3原来的右孩子变为5的左孩子。

插入新节点

首先是在树中找到新节点正确的位置，寻找位置的过程与普通的二叉搜索树相同，只是将新插入的节点默认为红色节点。为什么默认为红色？因为如果你将新节点默认为黑色，则插入后肯定会打破原本符合规则的红黑树（上述第5条规则）。但是，如果你将新节点定为红色，则有可能不用任何操作就符合红黑树规则，如下图，当新插入的红色节点，它的父亲节点为黑色时候，此时已经满足红黑树规则了。所以用红色比黑色好。

图3.png

如果很不巧，新插入的节点的父亲节点也为红色，因为红色节点不能连续，所以我们需要调整红黑树的结构使其满足规则。在调整的过程中我们会遇到3种需要处理的情况，我们来一一进行说明。

情况1：

图4.png

插入新节点40，此时它的父节点为红色，并且它的叔叔节点（即51）也为红色。此时我们需要进行变色操作。将该节点的父亲节点、叔叔节点都变为黑色，祖父节点变为红色。

图5.png

此时上图已经满足红黑树的规则。但有的时候我们经过了变色操作后，仍不满足红黑树的规则，会遇到下面的情况。
情况2：

图9.png

如图，我们插入新的节点53，在按情况1的操作变色后，变成了这样:

图10.png

此时，49与44为两个连续的红色，显然不符合规则。此时的操作为：我们将49看做当前节点，将当前节点的父节点44变为黑色，祖父节点35置为红色，以祖父节点为支点进行
左旋。

图11.png

此时情况2就处理完成了。

最后我们说一下情况3的情景，如下图：

图6.png

我们向树中插入新节点37，在按情况1的操作变色后，变成了这样：

情况3：

图7.png

此时，49与44为两个连续的红色，显然不符合规则。而我们只需以49为支点，进行一次右旋，就变成了情况2。如下图。

图8.png

再按情况2进行一次操作就符合规则了。

3种情况我们说明完了，但是你可能还会有这样的疑问，什么时候进行左旋，什么时候进行右旋；什么时候以父节点为支点旋转，什么时候又以祖父节点为支点旋转？

那么我们可以总结一下，当遇到连续的红色节点应该怎么办：当前节点我们叫它X，如果X相对于父节点的左右位置和父节点相对于祖父节点的左右位置相同，此时，就以祖父节点为支点，进行反向旋转。例如：X为父节点的左孩子，X的父节点同样也是其祖父节点的左孩子，此时以祖父节点为支点进行右旋；
如果X相对于父节点的左右位置和父节点相对于祖父节点的左右位置不同，则以X的父节点为支点，进行旋转，旋转方向与X相对于父节点左右位置相反。例如：X为其父节点的左孩子，X的父节点为祖父节点的右孩子，此时以X的父节点为支点进行一次右旋。

删除节点

在红黑树中删除节点，肯定要涉及到要删的这个节点是红色的还是黑色的。删除红色比较简单，我们先说一下删除红色节点。

删除节点要考虑这个节点所处的位置，所以我们罗列一下红色的节点所有可能的位置情况。

• 它是一个叶子节点。
• 它既有左子树也有右子树。

你可能会发现为什么少了一种情况？它不能只有左子树或者只有右子树吗?我们可以看下图:

图12.png

很明显，这四种情况都不符合红黑树的规则，所以根本不会出现这种情况。

而对于既有左子树也有右子树的情况。我们可以先和普通的二叉搜索树的删除操作一样，将它与前驱或者后继交换一下。它就又变成第一种情况——成为了一个叶子节点。所以我们只需考虑当它是叶子节点的情况。

图13.png

很简单，直接删除红色叶子节点。

接下来我们看一下当要删除的节点是黑色的时候应该怎么办。
同样我们列一下节点位置可能的情况：

• 它是一个叶子节点。
• 它只有左子树，或只有右子树。
• 它既有左子树也有右子树。

第三种情况和删除红色节点时的处理方法一样，可以转换成第一种或第二种情况，所以我们只关心前两种情况。

当要删除的黑色节点只有一个子树时：

图14.png

它的左孩子或者右孩子一定是红色的，因为如果是黑色的就不符合红黑树的规则了。

操作方法为：我们只需要将它的子节点变黑，然后代替它的位置就完成了。
图15.png

最后我们看一下最难处理的一种情况。

要删除的黑色节点是叶子节点时：
情况1：待删除黑色节点20，它的兄弟节点为红色。

图16.png

此时的操作为，将兄弟节点和父节点颜色交换，即父亲变红，兄弟变黑。然后以父节点为支点进行
左旋。(旋转方向同样是与待删除节点的左右位置相同)

图17.png

此时会变成了下述的情况4，再按情况4进行操作就可以了。

情况2：待删除黑色节点20，它的兄弟节点为黑色，并且它拥有红色的远侄子节点，近侄子节点有没有都可以。（侄子节点即兄弟节点的子节点，远侄子节点就是，当前节点如果是其父节点的左孩子，那么它的远侄子节点就是兄弟节点的右孩子，近侄子同理）

图18.png

操作方法为：将远侄子节点变黑，兄弟节点与父亲节点互换颜色，最后以父节点为支点进行左旋。(为什么是左旋？因为待删除的20是左孩子，我们要将左子树长度拉长，将它沉下来，使它变成多余的节点好删除它，如果它是右孩子，则进行右旋)
操作后如下图就完成了。

图19.png

情况3：待删除黑色节点20，它的兄弟节点为黑色，但它没有红色的远侄子节点(即nil点，记住，nil点算黑色)，只有红色的近侄子节点。

图20.png

操作方法为：将兄弟节点与近侄子节点交换颜色，再以兄弟节点进行右旋。（旋转方向很好记，因为此处旋转的目的是为了创造远侄子，近侄子节点是左节点，所以就只能右旋了，如果近侄子是右节点则进行左旋。）

操作后如下图:

图21.png

此时有了红色的远侄子，就满足了情况2，再按情况2进行一次操作就完成了。

情况4：待删除黑色节点20，它的兄弟节点为黑色，远侄子、近侄子节点都没有。(即两个nil节点，nil节点算黑色)

图24.png

操作方法为：将兄弟节点变为红色，同时最关键的是，将当前节点20的父节点50，看做当前节点，继续递归的进行这四种情况的判断，直到当前节点为红色，或者当前节点是根节点才停止。
最后将当前节点变为黑色！！

我们将上图红黑树按流程演示一下:
第一步按情况4操作，将55变红。并将父节点50看做当前节点，继续操作。

图25.png

此时，当前节点50为黑色，兄弟节点68也为黑色，且它的两个侄子65和70都为黑色，所以仍符合情况4。将68变红，并将父节点61看做当前节点，继续操作。
图26.png

此时当前节点61为红色，满足停止递归条件，将61变为黑色，停止。整个操作完成。
图27.png

此时有关红黑树的知识就说完了。
以上所有内容都为自己查阅资料学习理解之后手敲的。尽量得采用通俗易懂的描述和解释让读者更明白。27张图都是自己亲自画的，花费了四天才写完，如果觉得写的还可以，麻烦点亮喜欢支持一下，如果还是不懂，可以下方留言QQ等联系方式，我亲自告诉你。