2-3-4树及2-3树的总结

1. 2-3-4树及2-3树的定义以及操作

参见红黑树专题

2. 2-3-4树以及2-3树的第一个实现——红黑树

参见红黑树专题
参见查找树(搜索树)中的红黑树

3. 2-3-4树的第二实现——1-2-3确定性跳跃表

参见随机算法中的跳跃表及其因素

4. 2-3树的实现——AA树(基于2-3树的右倾红黑树变种)

4.1 AA树的定义与实现

一棵红黑树是满足下面红黑性质的二叉搜索树:

  • 1.每个结点或是红色的,或是黑色的
  • 2.根节点是黑色的
  • 3.每个叶节点NIL时黑色的(这条性质可去掉)
  • 4.如果一个结点是红色的,则它的两个子节点都是黑色的
  • 5.对每个结点,从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上,均包含相同数目的黑色结点

AA树的附加条件:

  • 一个结点最多可以有一个红儿子,并且只有右儿子可以是红儿子(消除了约一半的可能情形)。
    如果一个内部结点只有一个儿子,那么这个儿子一定是右儿子(红色)。那么在删除时,总是可以用一个内部结点的右子树中的最小结点代替该内部结点。(一个儿子结点是右儿子,两个儿子结点用右儿子代替,因此总是用右儿子代替。)
  • 结点的层次(本质上是2-3树每个结点的高度):
    1)若该结点是树叶,则为1
    2)若该结点是红的,则为其父结点的层次
    3)若该结点是黑的,则比父结点少1

《2-3-4树及2-3树的总结》

《2-3-4树及2-3树的总结》

《2-3-4树及2-3树的总结》 本质上是一棵2-3树

4.2 AA树的操作

4.2.1 插入

《2-3-4树及2-3树的总结》

《2-3-4树及2-3树的总结》

《2-3-4树及2-3树的总结》

《2-3-4树及2-3树的总结》 实质上是自底向上的2-3树插入

1)skew和split操作
插入的问题:

  • 产生一个左水平链接——通过右旋消除
  • 产生两个连续的右水平链接——通过左旋消除

    《2-3-4树及2-3树的总结》
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2)插入操作(递归操作实现的是自底向上的插入)

《2-3-4树及2-3树的总结》

4.2.2 删除

删除总可以归结为叶子节点的删除,如果该节点不是树叶,则总是可以归结为其右子树上最小的儿子(叶子节点)来代替这个节点。

《2-3-4树及2-3树的总结》

《2-3-4树及2-3树的总结》

注意:

  • 代码中,DeletePtr和LastPtr是static变量,因此只有在最底层叶子的时候,LastPtr才等于T,其余时候都不等于。因此才有了step2和step3的区分。
  • 最底层叶子删除的时候,指向的是NullNode,该节点的高度为0.因此会有step3的条件:
    T->Right->level < T->level – 1或者
    T->Left->level < T->level – 1
  • 当删除红色结点,不要挑战;
    (重要——核心本质)当删除黑色结点时,会主动使2-3树父节点的高度减一,即将2-3树的2-结点或者3-结点与该结点还剩下的儿子结点合并,然后通过分裂达到平衡。
  • skew是将左链接改为右链接,使其符合AA树的定义,但是对于2-3树来说,是在一个结点内的改变
  • split是将4-结点分裂成3个2-结点,使得2-3树增加
    原文作者:王侦
    原文地址: https://www.jianshu.com/p/72020208e4fa
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