B树B-树和B+树的总结

参考:
B树和B+树的总结
B树、B-树、B+树、B*树都是什么

总结

利用平衡树的优势加快查询的稳定性和速度;
B+树的数据都存储在叶子结点中,分支结点均为索引,查询时只需要扫描叶子节点,常用于数据库索引;

B树其分支结点和叶子节点都存储着数据,查询时需要进行一个遍历,常用于文件索引;

B树和B+树区别:
关键字数量不同:B+树分支结点M个关键字,叶子节点也有M个;B树分支结点则存在 k-1 个关键码
数据存储位置不同:B+树数据存储在叶子结点上;B树存储在每个结点上;
查询不同:B+树是从根节点到叶子节点的路径;B树是只需要找到数据就可以
分支节点存储信息不同:B+树存索引信息;B树存的是数据关键字

小结:
B树:二叉树,每个结点只存储一个关键字,等于则命中,小于走左结点,大于走右结点;

B-树:多路搜索树,每个结点存储M/2到M个关键字,非叶子结点存储指向关键字范围的子结点;所有关键字在整颗树中出现,且只出现一次,非叶子结点可以命中;

B+树:在B-树基础上,为叶子结点增加链表指针,所有关键字都在叶子结点中出现,非叶子结点作为叶子结点的索引;B+树总是到叶子结点才命中;

B*树: 在B+树基础上,为非叶子结点也增加链表指针,将结点的最低利用率从1/2提高到2/3;

详细说明

为什么使用B树?

B类树是平衡树,每个结点到叶子结点的高度都是相同,这也保证了每个查询是稳定的,查询的时间复杂度时long2(n);
其次是构造一个多阶B类树,然后在尽量多的在结点上存储相关的信息,保证层数尽量的少,以便后面我们可以更快的找到信息;
总结:利用平衡树的优势加快查询的稳定性和速度。

B树简介

B-Tree,一个 m 阶的B树满足以下条件:

  1. 每个结点至多拥有m棵子树;
  2. 根结点至少拥有两颗子树(存在子树的情况下);
  3. 除了根结点以外,其余每个分支结点至少拥有 m/2 棵子树;
  4. 所有的叶结点都在同一层上;
  5. 有 k 棵子树的分支结点则存在 k-1 个关键码,关键码按照递增次序进行排列;
  6. 关键字数量需要满足ceil(m/2)-1 <= n <= m-1;

    《B树B-树和B+树的总结》 B-Tree

    B树上大部分的操作所需要的磁盘存取次数和B树的高度是成正比的,在B树中可以检查多个子结点,由于在一棵树中检查任意一个结点都需要一次磁盘访问,所以B树避免了大量的磁盘访问。

操作

B树可视化的网站:[B-Trees]
(https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BTree.html)
假定对高度为h的m阶B树进行操作。

插入

新结点一般插在第h层,通过搜索找到对应的结点进行插入,那么根据即将插入的结点的数量又分为下面几种情况。

  • 如果该结点的关键字个数没有到达m-1个,那么直接插入即可;
  • 如果该结点的关键字个数已经到达了m-1个,那么根据B树的性质显然无法满足,需要将其进行分裂。分裂的规则是该结点分成两半,将中间的关键字进行提升,加入到父亲结点中,但是这又可能存在父亲结点也满员的情况,则不得不向上进行回溯,甚至是要对根结点进行分裂,那么整棵树都加了一层。

其过程如下:

《B树B-树和B+树的总结》 image
《B树B-树和B+树的总结》 image
《B树B-树和B+树的总结》 image
《B树B-树和B+树的总结》 image

删除

同样的,我们需要先通过搜索找到相应的值,存在则进行删除,需要考虑删除以后的情况,

  • 如果该结点拥有关键字数量仍然满足B树性质,则不做任何处理;
  • 如果该结点在删除关键字以后不满足B树的性质(关键字没有到达ceil(m/2)-1的数量),则需要向兄弟结点借关键字,这有分为兄弟结点的关键字数量是否足够的情况。
    • 如果兄弟结点的关键字足够借给该结点,则过程为将父亲结点的关键字下移,兄弟结点的关键字上移;
    • 如果兄弟结点的关键字在借出去以后也无法满足情况,即之前兄弟结点的关键字的数量为ceil(m/2)-1,借的一方的关键字数量为ceil(m/2)-2的情况,那么我们可以将该结点合并到兄弟结点中,合并之后的子结点数量少了一个,则需要将父亲结点的关键字下放,如果父亲结点不满足性质,则向上回溯;
  • 其余情况参照BST中的删除。

其过程如下:

《B树B-树和B+树的总结》 image
《B树B-树和B+树的总结》 image
《B树B-树和B+树的总结》 image

B-树

是一种多路搜索树(并不是二叉的):
1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子;且M>2;
2.根结点的儿子数为[2, M];
3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M];
4.每个结点存放至少M/2-1(取上整)和至多M-1个关键字;(至少2个关键字)
5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1;
6.非叶子结点的关键字:K[1], K[2], …, K[M-1];且K[i] < K[i+1];
7.非叶子结点的指针:P[1], P[2], …, P[M];其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树,P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树,其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树;
8.所有叶子结点位于同一层;

如:(M=3)

《B树B-树和B+树的总结》
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B-树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为空,或已经是叶子结点;

B-树的特性:
1.关键字集合分布在整棵树中;
2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中;
3.搜索有可能在非叶子结点结束;
4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找;
5.自动层次控制;

B+树

为什么要B+树

B+树是B-树的变体,也是一种多路搜索树:

1.其定义基本与B-树同,除了:
2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同;
3.非叶子结点的子树指针P[i],指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树(B-树是开区间);
5.为所有叶子结点增加一个链指针;
6.所有关键字都在叶子结点出现;

如:(M=3)

《B树B-树和B+树的总结》
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B+的搜索与B-树也基本相同,区别是B+树只有达到叶子结点才命中(B-树可以在非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找;

B+的特性:
1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中(稠密索引),且链表中的关键字恰好是有序的;
2.不可能在非叶子结点命中;
3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层;
4.更适合文件索引系统;

B树和B+树的区别

这都是由于B+树和B具有这不同的存储结构所造成的区别,以一个m阶树为例。

  1. 关键字的数量不同;B+树中分支结点有m个关键字,其叶子结点也有m个,其关键字只是起到了一个索引的作用,但是B树虽然也有m个子结点,但是其只拥有m-1个关键字。
  2. 存储的位置不同;B+树中的数据都存储在叶子结点上,也就是其所有叶子结点的数据组合起来就是完整的数据,但是B树的数据存储在每一个结点中,并不仅仅存储在叶子结点上。
  3. 分支结点的构造不同;B+树的分支结点仅仅存储着关键字信息和儿子的指针(这里的指针指的是磁盘块的偏移量),也就是说内部结点仅仅包含着索引信息。
  4. 查询不同;B树在找到具体的数值以后,则结束,而B+树则需要通过索引找到叶子结点中的数据才结束,也就是说B+树的搜索过程中走了一条从根结点到叶子结点的路径。

B*树

是B+树的变体,在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针;

《B树B-树和B+树的总结》
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B树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)M,即块的最低使用率为2/3(代替B+树的1/2);

B+树的分裂:当一个结点满时,分配一个新的结点,并将原结点中1/2的数据复制到新结点,最后在父结点中增加新结点的指针;B+树的分裂只影响原结点和父结点,而不会影响兄弟结点,所以它不需要指向兄弟的指针;

B*树的分裂:当一个结点满时,如果它的下一个兄弟结点未满,那么将一部分数据移到兄弟结点中,再在原结点插入关键字,最后修改父结点中兄弟结点的关键字(因为兄弟结点的关键字范围改变了);如果兄弟也满了,则在原结点与兄弟结点之间增加新结点,并各复制1/3的数据到新结点,最后在父结点增加新结点的指针;

所以,B*树分配新结点的概率比B+树要低,空间使用率更高;

小结

B树:二叉树,每个结点只存储一个关键字,等于则命中,小于走左结点,大于走右结点;

B-树:多路搜索树,每个结点存储M/2到M个关键字,非叶子结点存储指向关键字范围的子结点;

所有关键字在整颗树中出现,且只出现一次,非叶子结点可以命中;

B+树:在B-树基础上,为叶子结点增加链表指针,所有关键字都在叶子结点中出现,非叶子结点作为叶子结点的索引;B+树总是到叶子结点才命中;

B*树:在B+树基础上,为非叶子结点也增加链表指针,将结点的最低利用率从1/2提高到2/3;

    原文作者:小小少年Boy
    原文地址: https://www.jianshu.com/p/92d15df75027
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