最近在刷题，碰到了上台阶问题，据说这也是Google的面试题，今天来整理一下。
问题描述
有一楼梯共m级，若每次只能跨上一级或二级，要走上第m级，共有多少走法？
这种问题老司机一看就知道用动态规划的思想去求解，但是小白如我们可怎么办呢？
不懂动态规划？没事，不懂也可以解出来这个题目的。不要着急，且听我娓娓道来。
现在不是让我们求上到m层有多少种走法吗？好啊，设走到m层需要x种走法，这个套路大家肯定非常熟悉，中学数学最喜欢设各种东西。好，现在要开始求解x了，首先我们自然会想到先找找看这个x跟什么有关系，看能不能跟谁联立一个方程啥的不就好整了么？
思路是对的，那x跟谁有关系呢？把目光转向题目要求（问题本身会提供有用信息，这是中学数学的套路），我们看到题目说每一次只能跨一步或两步，也就是说要想到达m层，我们只能从m-1层跨一步上去或者从m-2层跨两步上去。假设到达m-1层有x1种走法，到达m-2层有x2种走法，那么：
x = x1 + x2
从上式中可以看出所求到达m层的走法x是依附于到达m-1层的走法x1和到达m-2层的走法x2。看到没有，一个问题的解依附于其子问题的解（动态规划的精髓所在）。也就是说只要我们知道了m-1层的走法x1和m-2层的走法x2就能知道到达m层的走法x了。
到这里，大家可能会问了，那x1 和 x2不也不知道吗？ x不还是求不出来么？恩，是的，但是既然我们知道m层的走法能从m – 1层和m-2层的走法求得，那同样的道理，m-1层的走法不也可以从(m-1) – 1和(m-1)-2层的走法求得吗？m-2层的走法不也可以从(m-2)-1和(m-2)-2层的走法求得吗？
似不似头晕乎乎的？来整个小栗子看看：
这里我们用一个数组Box来存储各个层的走法，Box[i]表示走到第i层有多少种走法。也即是说我们上边的x，x1，x2可以用Box[m], Box[m-1], Box[m-2]来表示，这样看起来是不是更清晰了。
好了，小栗子来了，现在我给你6个台阶，每次只能跨一步或者两步，问有多少种走法到达第6层？
请看图：
要到达第六层，只有两种可能：
- 跨一个台阶从第5层上去
- 跨两个台阶从第4层上去
也就是说，要么从第5层上去；要么从第4层上去。又已知到达第5层有Box[5]种上法；到达第4层有Box[4]种上法。
因此，上到第6层有 Box[5] + Box[4] 种上法，即
Box[6] = Box[5] + Box[4]
推广开来，即有：
Box[i] = Box[i – 1] + Box[i – 2], (i > 2)
当 i = 1时，Box[1] = 1;
当 i = 2时，Box[2] = 2;
为啥要加个条件 i > 2 呢？因为你想啊，如果i = 2，那就有Box[2] = Box[1] + Box[0]；i = 1，即有Box[1] = Box[0] + Box[-1]。而我们存储的时候是从Box[1]开始存储的，Box[0]我们是不存东西的，Box[-1]更是会数组下标越界，所以要加个约束条件，也叫边界条件。而对于Box[1]，即到达第一个台阶的走法，那只有一种可能，就是跨一步，所以Box[1] = 1; 对于Box[2]，即到达第2个台阶的走法，这时你可以一次一步上，也可以一次跨两步上，所以有Box[2] = 2。
因此有，
Box[6] = Box[5] + Box[4]
=(Box[4] + Box[3]) + (Box[3] + Box[2])
=((Box[3] + Box[2]) + (Box[2] + Box[1])) + ((Box[2] + Box[1]) + Box[2])
=((Box[2] + Box[1] + Box[2]) + (Box[2] + Box[1])) + ((Box[2] + Box[1]) + Box[2])
看到没有，所求的Box[6]最后都化成了我们已知的Box[1]和Box[2]的组合了。
但是，我们的代码也要这么样去拆分求解吗？NO,NO,NO，如果是这样的话，那就还没有领略到动态规划的美妙之处，哈哈，啥意思呢？既然你的问题都可以用子问题来求解，那为什么我不把所有子问题都求解好存起来，这样你一来求解，我就可以立马返回给你你所需要的子问题的解呢？
比如现在我们已知Box[1]和Box[2]，先把他们存起来，那Box[3]是不是就知道了（Box[3] = Box[2] + Box[1]），再把Box[3]存起来，同理Box[4],Box[5],Box[6]也都可以求得了，并且都把他们存在Box中，就像是金字塔一样，先从最小的子问题慢慢往上推出父问题的解，这样一来，所有问题都可以马上取出它的解了。
好了，到此问题讲述的差不多了，其实如果大家理解了这个问题，那你就在不知不觉中开始接触了动态规划了，关于动态规划更详细的介绍，我之后会整理一篇文章出来，敬请期待。
最后，附上上台阶问题的完整代码：
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in)
int m = scan.nextInt();
int[] Box = new int[m + 1];//第0个位置舍弃不用，从第一个位置开始存
Box[1] = 1;//我们已知Box[1]和Box[2]，这也是边界条件
Box[2] = 2;
for (int j = 2; j <= m; j++) {//依次计算并存储每个问题的解
Box[j] = Box[j - 1] + Box[j - 2];//这句是核心！
}
System.out.println(Box[m]);//Box[m]即走到m层的走法
}
}
