图论(5):最短路径问题:Dijkstra与Floyd算法

定义

所谓最短路径问题是指:如果从图中某一顶点(源点)到达另一顶点(终点)的路径可能不止一条,如何找到一条路径使得沿此路径上各边的权值总和(称为路径长度)达到最小。

下面我们介绍两种比较常用的求最短路径算法:

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法

他的算法思想是按路径长度递增的次序一步一步并入来求取,是贪心算法的一个应用,用来解决单源点到其余顶点的最短路径问题。

算法思想

首先,我们引入一个辅助向量D,它的每个分量D[i]表示当前找到的从起始节点v到终点节点vi的最短路径的长度。它的初始态为:若从节点v到节点vi有弧,则D[i]为弧上的权值,否则D[i]为∞,显然,长度为D[j] = Min{D[i] | vi ∈V}的路径就是从v出发最短的一条路径,路径为(v, vi)。
那么,下一条长度次短的最短路径是哪一条呢?假设次短路径的终点是vk,则可想而知,这条路径或者是(v, vk)或者是(v, vj, vk)。它的长度或者是从v到vk的弧上的权值,或者是D[j]和从vj到vk的权值之和。

一般情况下,假设S为已知求得的最短路径的终点集合,则可证明:一下条最短路径(设其终点为x)或者是弧(v, x)或者是中间只经过S中的顶点而最后到达顶点x的路径。这可用反证法来证明,假设此路径上有一个顶点不在S中,则说明存在一条终点不在S中而长度比此路径短的路径。但是这是不可能的。因为,我们是按路径常度的递增次序来产生个最短路径的,故长度比此路径端的所有路径均已产生,他们的终点必定在S集合中,即假设不成立。

因此下一条次短的最短路径的长度是:D[j] = Min{D[i] | vi ∈ V – S},其中,D[i]或者是弧(v, vi)的权值,或者是D[k](vk ∈ S)和弧(vk, vi)上权值之和。

算法描述

假设现要求取如下示例图所示的顶点V0与其余各顶点的最短路径:

《图论(5):最短路径问题:Dijkstra与Floyd算法》 Dijkstra算法示例图

我们使用Guava的ValueGraph作为该图的数据结构,每个顶点对应一个visited变量来表示节点是在V中还是在S中,初始时S中只有顶点V0。然后从nodes集合中遍历找出从V0出发到各节点路径最短的节点,并将该节点并入S中(即修改该节点的visited属性为true),此时就找到了一个顶点的最短路径。然后,我们看看新加入的顶点是否可以到达其他顶点,并且看看通过该顶点到达其他点的路径长度是否比从V0直接到达更短,如果是,则修改这些顶点的权值(即if (D[j] + arcs[j][k] < D[k]) then D[k] = D[j] + arcs[j][k])。然后又从{V – S}中找最小值,重复上述动作,直到所有顶点都并入S中。

第一步,我们通过ValueGraphBuilder构造图的实例,并输入边集:

MutableValueGraph<String, Integer> graph = ValueGraphBuilder.directed()
        .nodeOrder(ElementOrder.insertion())
        .expectedNodeCount(10)
        .build();
graph.putEdgeValue(V0, V2, 10);
graph.putEdgeValue(V0, V4, 30);
graph.putEdgeValue(V0, V5, 100);
graph.putEdgeValue(V1, V2, 5);
graph.putEdgeValue(V2, V3, 50);
graph.putEdgeValue(V3, V5, 10);
graph.putEdgeValue(V4, V3, 20);
graph.putEdgeValue(V4, V5, 60);

return graph;

初始输出结果如下:

nodes: [v0, v2, v4, v5, v1, v3], 
edges: {<v0 -> v5>=100, <v0 -> v4>=30, <v0 -> v2>=10, 
<v2 -> v3>=50, <v4 -> v5>=60, <v4 -> v3>=20, <v1 -> v2>=5, 
<v3 -> v5>=10}

为了不破坏graph的状态,我们引入一个临时结构来记录每个节点运算的中间结果:

private static class NodeExtra {
    public String nodeName; //当前的节点名称
    public int distance; //开始点到当前节点的最短路径
    public boolean visited; //当前节点是否已经求的最短路径(S集合)
    public String preNode; //前一个节点名称
    public String path; //路径的所有途径点
}

第二步,我们首先将起始点V0并入集合S中,因为他的最短路径已知为0:

startNode = V0;
NodeExtra current = nodeExtras.get(startNode);
current.distance = 0; //一开始可设置开始节点的最短路径为0
current.visited = true; //并入S集合
current.path = startNode;
current.preNode = startNode;

第三步,在当前状态下找出起始点V0开始到其他节点路径最短的节点:

NodeExtra minExtra = null; //路径最短的节点信息
int min = Integer.MAX_VALUE;
for (String notVisitedNode : nodes) {
    //获取节点的辅助信息
    NodeExtra extra = nodeExtras.get(notVisitedNode); 
    
    //不在S集合中,且路径较短
    if (!extra.visited && extra.distance < min) {
        min = extra.distance;
        minExtra = extra;
    }
}

第四步,将最短路径的节点并入集合S中:

if (minExtra != null) { //找到了路径最短的节点
    minExtra.visited = true; //并入集合S中
    //更新其中转节点路径
    minExtra.path = nodeExtras.get(minExtra.preNode).path + " -> " + minExtra.nodeName; 
    current = minExtra; //标识当前并入的最短路径节点
}

第五步,更新与其相关节点的最短路径中间结果:

/**
 * 并入新查找到的节点后,更新与其相关节点的最短路径中间结果
 * if (D[j] + arcs[j][k] < D[k]) D[k] = D[j] + arcs[j][k]
 */
//只需循环当前节点的后继列表即可(优化)
Set<String> successors = graph.successors(current.nodeName); 
for (String notVisitedNode : successors) {
    NodeExtra extra = nodeExtras.get(notVisitedNode);
    if (!extra.visited) {
        final int value = current.distance 
            + graph.edgeValueOrDefault(current.nodeName,
                notVisitedNode, 0); //D[j] + arcs[j][k]
        if (value < extra.distance) { //D[j] + arcs[j][k] < D[k]
            extra.distance = value;
            extra.preNode = current.nodeName;
        }
    }
}

第六步,输出起始节点V0到每个节点的最短路径以及路径的途径点信息

Set<String> keys = nodeExtras.keySet();
for (String node : keys) {
    NodeExtra extra = nodeExtras.get(node);
    if (extra.distance < Integer.MAX_VALUE) {
        Log.i(TAG, startNode + " -> " + node + ": min: " + extra.distance
                + ", path: " + extra.path); //path在运算过程中更新
    }
}

实例图的输出结果为:

 v0 -> v0: min: 0, path: v0
 v0 -> v2: min: 10, path: v0 -> v2
 v0 -> v3: min: 50, path: v0 -> v4 -> v3
 v0 -> v4: min: 30, path: v0 -> v4
 v0 -> v5: min: 60, path: v0 -> v4 -> v3 -> v5

具体Dijkstra算法的示例demo实现,请参考:https://github.com/Jarrywell/GH-Demo/blob/master/app/src/main/java/com/android/test/demo/graph/Dijkstra.java

Floyd(弗洛伊德)算法

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。是解决任意两点间的最短路径(称为多源最短路径问题)的一种算法,可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。(动态规划算法是通过拆分问题规模,并定义问题状态与状态的关系,使得问题能够以递推(分治)的方式去解决,最终合并各个拆分的小问题的解为整个问题的解。)

算法思想

从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能:1)直接从节点i到节点j,2)从节点i经过若干个节点k到节点j。所以,我们假设arcs(i,j)为节点i到节点j的最短路径的距离,对于每一个节点k,我们检查arcs(i,k) + arcs(k,j) < arcs(i,j)是否成立,如果成立,证明从节点i到节点k再到节点j的路径比节点i直接到节点j的路径短,我们便设置arcs(i,j) = arcs(i,k) + arcs(k,j),这样一来,当我们遍历完所有节点k,arcs(i,j)中记录的便是节点i到节点j的最短路径的距离。(由于动态规划算法在执行过程中,需要保存大量的临时状态(即小问题的解),因此它天生适用于用矩阵来作为其数据结构,因此在本算法中,我们将不使用Guava-Graph结构,而采用邻接矩阵来作为本例的数据结构)

算法分析及描述

假设现要求取如下示例图所示任意两点之间的最短路径:

《图论(5):最短路径问题:Dijkstra与Floyd算法》 最短路径示例图

我们以一个4×4的邻接矩阵(二维数组arcs[ ][ ])作为图的数据结构。比如1号节点到2号节点的路径的权值为2,则arcs[1][2] = 2,2号节点无法直接到达4号节点,则arcs[2][4] = ∞(Integer.MAX_VALUE),则可构造如下矩阵:

《图论(5):最短路径问题:Dijkstra与Floyd算法》 有向图的初始邻接矩阵

根据以往的经验,如果要让任意两个顶点(假设从顶点a到顶点b)之间的距离变得更短,唯一的选择就是引入第三个顶点(顶点k),并通过顶点k中转(a -> k ->b)才可能缩短顶点a到顶点b之间的距离。于是,现在的问题便分解为:求取某一个点k,使得经过中转节点k后,使得两点之间的距离可能变短,且还可能需要中转两个或者多个节点才能使两点之间的距离变短。比如图中的4号节点到3号节点(4 -> 3)的距离原本是12(arcs[4][3] = 12),如果在只通过1号节点时中转时(4 -> 1 ->3),距离将缩短为11(arcs[4][1] + arcs[1][3] = 5 + 6 = 11)。其实1号节点到3号节点也可以通过2号节点中转,使得1号到3号节点的路程缩短为5(arcs[1][2] + arcs[2][3] = 2 + 3 = 5),所以如果同时经过1号和2号两个节点中转的话,从4号节点到3号节点的距离会进一步缩短为10。于是,延伸到一般问题:
1、当不经过任意第三节点时,其最短路径为初始路径,即上图中的邻接矩阵所示。
2、当只允许经过1号节点时,求两点之间的最短路径该如何求呢?只需判断arcs[i][1]+arcs[1][j]是否比arcs[i][j]要小即可。arcs[i][j]表示的是从i号顶点到j号顶点之间的距离,arcs[i][1] + arcs[1][j]表示的是从i号顶点先到1号顶点,再从1号顶点到j号顶点的路程之和。循环遍历一遍二维数组,便可以获取在仅仅经过1号节点时的最短距离,实现如下:

for (int i = 1; i <= vexCount; i++) {
    for (int j = 1; j < vexCount; j++) {
        if (arcs[i][1] + arcs[1][j] < arcs[i][j]) {
            arcs[i][j] = arcs[i][1] + arcs[1][j]; 
        }
    }
}

由于上述代码更新了两点之间经过1号节点的最短距离arcs[i][j],因此,数组中每两个节点之间对应距离都是最短的。由于此时arcs[i][j]的结果已经保存了中转1号节点的最短路径,此时如果继续并入2号节点为中转节点,则是任意两个节点都经过中转节点1号节点和2号节点的最短路径,因为运算完中转1号节点时,arcs[i][j]的结果已经更新为中转1号节点的最短路径了。更一般的,继续并入下一个中转节点一直到vexCount个时,arcs[i][j]的结果保存的就是整个图中两点之间的最短路径了。这就是Floyd算法的描述,变成代码就是下面几行行:

for (int k = 1; k <= vexCount; k++) { //并入中转节点1,2,...vexCount
    for (int i = 1; i <= vexCount; i++) {
        for (int j = 1; j < vexCount; j++) {
            if (arcs[i][k] + arcs[k][j] < arcs[i][j]) {
                arcs[i][j] = arcs[i][k] + arcs[k][j];
                path[i][j] = path[i][k]; //这里保存当前是中转的是哪个节点的信息
            }
        }
    }
} 

对应到示例图的中间运算结果如下:

print array step of 1: //并入1号节点的结果
    0     2     6     4 
    ∞     0     3     ∞ 
    7     9     0     1 
    5     7    11     0 

print array step of 2: //并入2号节点的结果
    0     2     5     4 
    ∞     0     3     ∞ 
    7     9     0     1 
    5     7    10     0 

print array step of 3: //并入3号节点的结果
    0     2     5     4 
   10     0     3     4 
    7     9     0     1 
    5     7    10     0 

print array step of 4: //并入4号节点(图最终两两节点之间的最短路径值)
    0     2     5     4 
    9     0     3     4 
    6     8     0     1 
    5     7    10     0 

虽然此时已求得了节点的最短路径,但结果却不能明显的表达最终最短路径是中转了哪些节点,因此这里对应到动态规划算法中的强项——算法过程中可以完全记录所有的中间结果。我们再定义一个二位数组path[][],其大小规模对应arcs[][],初始结果path[i][j] = j,表示节点i到节点j最后的中转节点是j。在运算中是在判断arcs[i][k]+arcs[k][j]比arcs[i][j]要小时,我们进一步更新为:path[i][j] = path[i][k],即当前最短路径的最后中转节点是path[i][k]对应的节点(如果只允许中专一个节点时即为k,但中转多个节点时,需要对应上一步的中转节点,因此这里要指明是path[i][k]而不是k)。
于是我们通过向前递推path[][]数组,直到path[i][j]是目标节点。则可输出其中转节点,输出函数实现如下:

private void printPath(int arcs[][], int path[][], int vexCount) {
    int temp;
    for (int i = 1; i <= vexCount; i++) {
        StringBuilder builder = new StringBuilder();
        for (int j = 1; j <= vexCount; j++) { //遍历打印任意亮点的路径
            builder.append(i).append("->").append(j)
                .append(", weight: "). append(arcs[i][j])
                    .append(":").append(i);
            temp = path[i][j];
            while(temp != j) {
                builder.append("->").append(temp);
                temp = path[temp][j];
            }
            builder.append("->").append(j).append("\n");
        }
        Log.i(TAG, builder.toString());
    }
}

对应示例图的最短路径的中转节点结果输出如下:

 1->1, weight: 0, path: 1->1
 1->2, weight: 2, path: 1->2
 1->3, weight: 5, path: 1->2->3
 1->4, weight: 4, path: 1->4
 2->1, weight: 9, path: 2->3->4->1
 2->2, weight: 0, path: 2->2
 2->3, weight: 3, path: 2->3
 2->4, weight: 4, path: 2->3->4
 3->1, weight: 6, path: 3->4->1
 3->2, weight: 8, path: 3->4->1->2
 3->3, weight: 0, path: 3->3
 3->4, weight: 1, path: 3->4
 4->1, weight: 5, path: 4->1
 4->2, weight: 7, path: 4->1->2
 4->3, weight: 10, path: 4->1->2->3
 4->4, weight: 0, path: 4->4

具体Floyd算法的示例demo实现,请参考:https://github.com/Jarrywell/GH-Demo/blob/master/app/src/main/java/com/android/test/demo/graph/Floyd.java

参考文档

《数据结构》(严蔚敏版)
http://developer.51cto.com/art/201403/433874.htm

    原文作者:JarryWell
    原文地址: https://www.jianshu.com/p/92e46d990d17
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系博主进行删除。
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