本文为学习《剑指offer》的记录。因其原理在原作者博客上找不到，所以，只能自己编写记录，如有不当之处，欢迎指正。

题目描述：
n个数，编号为 0 ， 1， ……， n-1 排成一个圆圈，从数字 0 开始，每次从这个圆圈中删除第 m 个数，请问最后一个剩下的数是多少？

推导过程
定义一个函数 f(n, m) 为 n 个数中取 m 最后剩下的编号。
第一个被删除的数是 (m-1)%n, 记为 k 。此时因为序列已经不连续，函数可以定义为 f’ ( n-1, m) 。
明显，最后剩下的编号相等，于是： f(n,m) = f’(n-1, m)

然后我们对剩下的数做一个简单的映射：

k+1 –> 0
k+2 –> 1
.
.
n-1 –> n-k-2
0 –> n-k-1
1 –> n-k
.
.
k-1 –> n-2

这个映射可以记为
p(x) = (x-k-1)%n
其中 x 为映射前的数 （可以自己推导一下）

那么逆映射就是：
p^-1(x) = (x + k + 1 ) %n
（还是建议自己推导一下）

那么，对于上面的函数 f’(n-1, m)，就有
f’(n-1, m) = p^-1[f(n-1, m)] = [f(n-1, m) + k +1]%n = f(n, m)

将 k= (m-1)%n 代入：
f(n, m) = [f(n-1, m) + m]%n

这就是我们要的通项公式。
很明显，当 n = 1 时，f = 0；
于是：

f(n, m) = 0, n = 1
f(n, m) = [f(n-1, m) + m]%n, n>1

使用循环就可以轻松解决这个问题了。

–END–