全排列的生成算法（八)——序数法
n个元素的全排列有n!个，如果将排列按顺序编号，并能够按照某种方法建立起每一个序号与一个排列之间的对应关系，那么就可以根据序号确定排列，反过来也可以根据排列确定它的序号。根据排列的序号生成对应排列的方法就称为序数法。
通常，我们使用的计数法是十进制数。十进制数的位权是10，也就是逢十进一。另外还有二进制、八进制和十六进制等，它们的位权分别是2、8和16。
排列数与n!的阶乘密切相关，因此可以用一种阶乘进制数来建立排列与它的序号的对应关系。阶乘进制数用0！、1！、2！、……分别作为（从右向左的）第一位、第二位、……的位权，显然这是一种可变的位权。举例来说，一个多位数123，如果是十进制，它的大小是3×100+2×101+1×102=(123)10，就是一百二十三。如果是八进制，就是(123)8=3×80+2×81+1×82=(83)10，就是十进制的83。如果是阶乘进制，它就是3×0！+2×1!+1×2!=(8)10，即十进制的8。
某一个n阶排列的序号是m，那么将m转换为阶乘进制数后，阶乘进制数的第i位就是在i右面比i小的元素个数。例如4阶排列中（从0开始计数的）第19个排列的序号是19，将19转换成阶乘进制数是3010，那么，第一位是0，表明1的右面没有比1小的元素，而第二位是1，则2的右面有一个元素小于2，第三位是0，即3的右面没有比它小的元素，第四位是3，4的右面有3个元素小于它。显然，这个排列是4 2 1 3。
序数法生成全排列的算法如下：
第一步：将排列的序号m转换成阶乘进制数
第二步：根据阶乘进制数的各位数值将元素1、2、……、n赋给数组p的相应元素。
在第一步中，从十进制数转换成阶乘进制数，步骤与一般十进制装换成其他进制数相同，也就是用欲转换的数制的位权除十进制数取余数。
第二步中则与递增进位法相同，将数字n、n-1、……、1填入n个空格的相应位置。
具体算法如下：
//全排列的序数法
//输入：排列元素个数n
//输出：全体排列
#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
Void perm(int);
Void output(int *,int);
int total;
int main(void)
{
freopen(“in.dat”,”r”,stdin);
int n;
while(cin>>n)
{
total=0;
perm(n);
}
return 0;
}
void output(int *p,int n)
{
cout<<setw(4)<<++total<<“: “;
for(int i=0;i<n;i++)
cout<<setw(3)<<p[i];
cout<<endl;
}
void perm(int n)
{
int i,j,k,m,s;
int *p=new int[n],*q=new int[n];
fill_n(q,n,0); //初始化
m=0; //原始排列序号
while(1)
{
fill_n(p,n,0); //数组初始化
for(i=0;i<n;i++) //按阶乘进制数各位的值安排各元素位置
for(j=n-1,k=0;j>=0;j–) //从n开始
{
if(p[j])
continue;
if(k==q[i])
{
p[j]=n-i;
break;
}
k++;
}
output(p,n); //输出一个排列
s=++m; //下一个排列的序号
for(i=1;i<=n;i++) //将序号转换成阶乘进制数
{
q[n-i]=s%i;
s/=i;
}
for(j=0,k=0;j<n;j++) //如果阶乘进制数各位回到0
k+=q[j];
if(k==0) //结束
break;
}
}
阶乘的序数转换成阶乘进制数后，也可以按照的增进位方式产生后继（阶乘进制）序数。
现在设置数组q，并用q[i]表示阶乘进制数的第n-i-1位，那么就有0≤q[i]≤i-1。这样，从q[0]=q[1]=……出发，对q[n-2]累加1，并按照q[i-1]=i时进位，就可以数次得到序数0、1、……、n！。同时也可以生成全体n阶排列。
//递增进位序数法
//输入：排列元素个数
//输出：全体n阶全排列
#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
void perm(int);
void output(int *,int);
int total;
int main(void)
{
freopen(“in.dat”,”r”,stdin);
int n;
while(cin>>n)
{
total=0;
perm(n);
}
return 0;
}
void output(int *p,int n)
{
cout<<setw(5)<<++total<<“: “;
for(int i=0;i<n;i++)
cout<<setw(3)<<p[i];
cout<<endl;
}
void perm(int n)
{
int *p=new int[n];
int *q=new int[n]; //阶乘进制数
fill_n(q,n,0); //初始化
int i,j,k;
while(1)
{
fill_n(p,n,0); //初始化
for(i=0;i<n;i++) //按照阶乘进制数各位安排元素位置
for(j=n-1,k=0;j>=0;j–)
{
if(p[j])
continue;
if(k==q[i])
{
p[j]=n-i;
break;
}
k++;
}
output(p,n); //输出一个排列
i=n-2; //计算下一个序数
q[i]++;
while(q[i]>n-i-1 && i>0) //递增进位
q[i–]=0,q[i]++;
if(q[0]==n) //超出n位
break; //结束
}
}
int main(void)
{
int n=5;
total=0;
perm(n);
return 0;
}
