模拟退火，随机化下的贪心

2024年5月30日 223次阅读

前言

贪心，是一个很好的算法，只可惜适用的范围不广。随机化，是一个很好的算法，只可惜正确率不高。
如果将这两个算法结合起来，我们能不能得到一个适用范围广、正确率较高的算法呢？
答案是肯定的。
模拟退火（Simulated Annealing，简称SA），一个随机化与贪心结合的算法，就可以轻松解决许多难题（前提是你的RP较好或是数据范围较小）。

一个经典的故事

为了找出地球上最高的山，一羣有志气的兔子们开始想办法。

  • 兔子朝着比现在高的地方跳去。它们找到了不远处的最高山峯。但是这座山不一定是珠穆朗玛峯。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。
  • 兔子喝醉了。他随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。
  • 兔子们知道一个兔的力量是渺小的。它们互相转告着，哪里的山已经找过，并且找过的每一座山他们都留下一只兔子做记号。它们制定了下一步去哪里寻找的策略。这就是禁忌搜索。
  • 兔子们吃了失忆药片，并被发射到太空，然后随机落到了地球上的某些地方。它们不知道自己的使命是什么。但是，如果你过几年就杀死一部分海拔低的兔子，多产的兔子们自己就会找到珠穆朗玛峯。这就是遗传算法。

其中第二部分，讲的就是模拟退火。

主要思路

我们可以一起来归纳一下模拟退火的主要思路。

  • 首先，我们要先设置一个初始的温度 T T （遵循物理学定律），至于这个初始温度选什么好，我也不太清楚，据说一些大佬可以根据题目推出最优的初始温度。
  • 确定完初温，我们就可以开始操作了。
  • 对于每一个能够从当前状态转移到的下一个状态，我们可以将其与原本的答案进行比较：
    • 如果 res<new r e s < n e w _ res r e s ，则我们必定转移答案。
    • 否则，我们有一定概率转移答案（转移答案的概率随时间的推移和 res r e s 与 new n e w _ res r e s 差值的增大而增大），因此我们可以表示为 exp((res−new e x p ( ( r e s − n e w _ res)/T) r e s ) / T ) 。
  • 最后，在一次答案转移结束后，我们要记得将 T T 乘上一个小于但十分接近于 1 1 的数 delta d e l t a ，以体现时间对答案的影响。

根据这个主要思路，我们就可以写出模拟退火的模板了：

int T=***;//给T赋一个初温（我也不知道该赋什么值）
while(T>eps)//eps是一个大于0的极小值，一般取1e-15
{
    int nxt=Next(now),new_res=Calc(nxt);//nxt记录下一个状态，new_res记录下一个状态能得到的答案
    if(res<new_res||exp((res-new_res)/T)*RAND_MAX>rand()) now=nxt,res=new_res;//如果新的代价小于当前代价，或在一定的机率下，更新当前状态
    T*=delta;//降温的过程，将温度减小，是一个模拟物理学上的退火操作的过程
}

例题

最后，我们一起来看一道例题来感受一下模拟退火的神奇所在：【洛谷1337】[JSOI2004]吊打XXX。
这道题目的正解我也不知道是什么（据说是暴搜？），反正它已经成为了模拟退火的一道经典题。
题目的大意就是要你求出一张图的广义费马点，具体解析见博客。

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