Regular Expression Matching

Implement regular expression matching with support for '.' and'*'.

'.' Matches any single character. '*' Matches zero or more of the preceding element.

The matching should cover the entire input string (not partial).

The function prototype should be:

bool isMatch(const char *s, const char *p)

Some examples:

isMatch("aa","a") → false
isMatch("aa","aa") → true
isMatch("aaa","aa") → false
isMatch("aa", "a*") → true
isMatch("aa", ".*") → true
isMatch("ab", ".*") → true
isMatch("aab", "c*a*b") → true

动态规划

复杂度

时间 O(NM) 空间 O(N)

思路

这道题可以用递归解决，不过时间复杂度是指数级，这里介绍一个用动态规划在平方时间内解决的办法。
解法的核心理念是：从后往前看pattern的每一位，对于pattern的每一位，我们尽可能的把待匹配串string从后往前给匹配上。我们用一个数组match[string.length() + 1]来表示string被匹配的情况，这里如果match[j]是true，而我们pattern正指向第i位，则说明string从第j位到最后都已经被pattern第i位之前的某些部分给成功匹配了，所以我们不用再操心了。match[i]为true的条件是match[i + 1]为true，且string第i个字符也能被成功匹配。

那我们就可以从后往前开始看pattern的每一位能匹配多少string的字符了：

• 如果pattern的这一位是*，那我们要用这一位，来从后往前尝试匹配string，因为string后面是已经匹配好的，前面是还没匹配好的，所以从前往后匹配星号可能会导致我们匹配了一些pattern该星号前面的星号应该匹配的部分。而从后往前匹配则不会影响pattern该星号后面星号所匹配的部分，因为已经匹配的部分我们会直接跳过。

• 如果pattern这一位不是*，那我们则不能匹配多个字符，我们只能匹配一个字符，这时候要对string从前往后匹配，因为如果后面没被匹配，前面也肯定不会被匹配，所以从前向后能保证我们把pattern的这一位匹配到string当前最后面那个还没匹配的字符。这样如果那个字符能被匹配就通过了。

我们举个例子

match:   0 0 0 1
string:  a a b
pattern: a * b
             |

这里我们先看pattern最后一位b能匹配到多少，这里因为b不是星号，所以我们从左往右尝试匹配string，第一个a不行，第二个a也不行，然后到b，这里因为match[3]是true，b也和b相同，所以匹配成功。

match:   0 0 1 1
string:  a a b
pattern: a * b
           |

然后看pattern的这个星号，我们要从后往前匹配string。因为b已经被匹配了，match[2]是true，所以直接跳过。然后到a，发现个pattern中星号前面的字符a相同，所以匹配成功，match[1]也置为true再看string的第一个a，还是可以匹配成功，这样整个string都被匹配成功了。

这里还有几个情况，首先，无论刚才那pattern中最后一个b有没有匹配到string中任何一个字符，match[3]也要置为false。这样才能防止pattern最后字母没有匹配上，而pattern前面的部分反而把string的结尾给匹配了。还有如果pattern中是句号的话，那相当于字符相同。

代码

public class Solution {
    public boolean isMatch(String s, String p) {
        boolean[] match = new boolean[s.length() + 1];
        match[s.length()] = true;
        for(int i = p.length() - 1; i >=0; i--){
            if(p.charAt(i) == '*'){
                // 如果是星号，从后往前匹配
                for(int j = s.length() - 1; j >= 0; j--){
                    match[j] = match[j] || (match[j + 1] && (p.charAt(i - 1) == '.' || (p.charAt(i - 1) == s.charAt(j)))); 
                }
                // 记得把i多减一，因为星号是和其前面的字符配合使用的
                i--;
            } else {
                // 如果不是星号，从前往后匹配
                for(int j = 0; j < s.length(); j++){
                    match[j] = match[j + 1] && (p.charAt(i) == '.' || (p.charAt(i) == s.charAt(j)));
                }
                // 只要试过了pattern中最后一个字符，就要把match[s.length()]置为false
                match[s.length()] = false;
            }
        }
        return match[0];
    }
}