什么是牛顿法
在第９章中介绍了一维搜索的牛顿法,什么是一维搜索的牛顿法？
首先介绍一下一维搜索
一维搜索
一维搜索其实也很简单，在许多迭代下降算法中，具有一个共同的特点，就是得到点x(k)后，需要按照某种规则确定一个方向d(k)，再从x(k)出发，沿着d(k)的方向上求目标函数的极小点。从而得到x(k+1)，重复以上做法，知道求得问题的解。这就是一维搜索。上面提到的d可以称作为步长因子。
一维搜索的方法有很多，归纳起来可以大体分成两类。
试探法 ： 这种方法需要按照某种方式找试探点，通过一系列试探点来确定极小点。
函数逼近法，或是插值法 ： 用某种简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。
里面的种种门道也是颇为复杂，这里就讲讲一维搜索的牛顿法，这是函数逼近法的一种。
一维搜索的牛顿法
牛顿法的基本思想是，在极小点附近用二阶Taylor多项式近似目标函数f(x)，进而求出极小点的估计值。
假设，考虑问题$$min f(x), x\in\Re.$$
令
$$\phi(x) = f(x^{(k)}) + f^{‘}(x^{(k)})(x-x^{(k)}) + \frac{1}{2}f^{”}(x^{(k)})(x-x^{(k)})^2$$
又令
$$\phi^{‘}(x) = f^{‘}(x^{(k)}) + f^{”}(x^{(k)})(x-x^{(k)}) = 0$$
得到 $ phi(x) $ 的驻点，记作x(k+1)，则
$$x^{(k+1)} = x^{(k)} – \frac{f^{‘}(x^{(k)})}{f^{”}(x^{(k)})}$$
有了以上公式的推导，相信已经能够理解，下面为了加深对这个算法的印象，毕竟大家都是程序员，需要用伪代码才能说服对方。
牛顿法的计算步骤：
（１）给定初始点 x(0)，允许误差 delta > 0 ，置k = 0
（２）若
$$ f^{‘}(x^{(k)}) < delta $$
则迭代停止，，得到结果。
（３）计算点
$$x^{(k+1)} = x^{(k)} – \frac{f^{‘}(x^{(k)})}{f^{”}(x^{(k)})}$$
置 k:=k+1,转步骤（２）
运用牛顿法是，初始点选择十分重要，如果初始点靠近极小点，则可能很快收敛，如果初始点远离极小点，迭代产生的点列可能不收敛于极小点。
牛顿法
一般来讲的牛顿法是使用导数的最优化方法，这里的牛顿法和一维搜索的牛顿法差别在于更新公式的不同，这里的迭代公式如下。
$$x^{(k)} = x^{(k)} – \nabla^{2}f(x^{(k)})^{-1} \nabla f(x^{(k)})$$
计算的步骤也是一样的。
其实误差delta可以设置是１-范式，也可以是2-范式。
coding time
"""
Newton法
Rosenbrock函数
函数 f(x)
梯度 g(x)
hessen 矩阵
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 一阶导
def jacobian(x):
return np.array([2*x[0]+3,2*x[1]+4])
# 二阶导
def hessian(x):
return np.array([[2,0],[0,2]])
X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)
X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)
[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
f=x1**2+x2**2+3*x1+4*x2-26; # 给定的函数
plt.contour(x1,x2,f,20) # 画出函数的20条轮廓线
def newton(x0):
print('初始点为:')
print(x0,'\n')
W=np.zeros((2,10**3))
i = 1
imax = 1000
W[:,0] = x0
x = x0
delta = 1
while i<imax and delta>0.1:
p = -np.dot(np.linalg.inv(hessian(x)),jacobian(x))
print(jacobian(x))
print(hessian(x))
x0 = x
x = x + p
W[:,i] = x
delta = sum((x-x0))
print('第'+str(i)+'次迭代结果:')
print(x,'\n')
i=i+1
W=W[:,0:i] # 记录迭代点
return W
x0 = np.array([1,1])
W=newton(x0)
plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 画出迭代点收敛的轨迹
plt.show()
代码注释的很清楚了，就不解释了，下面再提一句，如果更新时乘上了alpha值，就成了阻尼牛顿法。
"""
Newton法
Rosenbrock函数
函数 f(x)
梯度 g(x)
hessen 矩阵
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 一阶导
def jacobian(x):
return np.array([2*x[0]+3,2*x[1]+4])
# 二阶导
def hessian(x):
return np.array([[2,0],[0,2]])
X1=np.arange(-1.5,1.5+0.05,0.05)
X2=np.arange(-3.5,2+0.05,0.05)
[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
f=x1**2+x2**2+3*x1+4*x2-26; # 给定的函数
plt.contour(x1,x2,f,20) # 画出函数的20条轮廓线
def newton(x0):
print('初始点为:')
print(x0,'\n')
W=np.zeros((2,10**3))
i = 1
imax = 1000
W[:,0] = x0
x = x0
delta = 1
alpha = 0.1
while i<imax and delta>0.1:
p = -np.dot(np.linalg.inv(hessian(x)),jacobian(x))
print(jacobian(x))
print(hessian(x))
x0 = x
x = x + alpha*p
W[:,i] = x
delta = sum((x-x0))
print('第'+str(i)+'次迭代结果:')
print(x,'\n')
i=i+1
W=W[:,0:i] # 记录迭代点
return W
x0 = np.array([1,1])
W=newton(x0)
plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 画出迭代点收敛的轨迹
plt.show()
