前言

一般用符号表来储存键值对，就好像字典那样，通过索引来查找值，若键重复则覆盖值。我们能希望找到一种高效的查找算法使在平均情况和最差情况下，时间复杂度都能达到O(logn)。下面会逐步介绍四种算法，最终达到我们的目的。

顺序查找

用链表实现，无法索引数据，必须遍历找数据，速度比较慢，查找插入时间复杂度都为O(n)，而且无法保证有序。但是实现简单，适用于小型数据。

public class SequentialSearchST
     
       { private Node head; private int size=0; public void put(Key key,Value v){ Node p=head; while(p!=null){ if(p.key.equals(key)){ p.v=v; return; } p=p.next; } head=new Node(key,v,head); size++; } public Value get(Key key){ Node p=head; while (p!=null){ if(p.key.equals(key)){ return p.v; } p=p.next; } return null; } } 
     

二分查找

用数组保存数据，保证有序。二分查找速度很快，但是仅限于查找。因为插入的时候要保证有序，所以要往后移动数据以便插入。查找复杂度O(logn),插入复杂度O(n)。

public class BinarySearch
     
       { public void put(Key key,Value value){ int index=rank(key); //键相等则覆盖值 if(keys[index]!=null&&key.compareTo(keys[index])==0){ values[index]=value; return; } //把数据往后移，以便插入 for(int i=size+1;i>index;i--){ keys[i]=keys[i-1]; values[i]=values[i-1]; } keys[index]=key; values[index]=value; size++; } public Value get(Key key){ int index=rank(key);//二分查找 if(keys[index]!=null && key.compareTo(keys[index])==0){ return values[index]; } return null; } public int rank(Key key){return rank(key,0,size);} public int rank(Key key,int l,int h){ if(l>h) return l; int mid = (l+h)/2; int cmp=0; if(keys[mid]!=null) cmp=key.compareTo(keys[mid]); if(cmp<0) return="" rank(key,l,mid-1);="" else="" if(cmp="">0) return rank(key,mid+1,h); return mid; } }
      
     

二叉搜索树

通过前面两个算法，我们可以知道链表能快速删除插入，而二分能快速查找。所以我们想找到一种结构既是链式结构，同时又能进行二分查找，同时保证查找和插入的高效性。

答案就是二叉搜索树。

定义

• 是二叉树
• 每个节点含有一个键和关联的值
• 且每个节点的键大于左儿子且小于右儿子

实现

其实给出定义，实现就已经很清楚了。说白了就是从无到有构造一个二叉树，每次插入都和树中的节点进行比较，小的放左边，大的放右边。就如同快速排序，用一个主元把左右两边分开。

还是直接看代码清楚点

public class BST
     
      { Node root; public void put(Key key,Value value){ root = put(root,key,value); } public Node put(Node x, Key key, Value value) { if(x==null){ return new Node(key,value,0); } int cmp = key.compareTo(x.key); if(cmp<0) x.left="put(x.left,key,value);" else="" if(cmp="">0) x.right=put(x.right,key,value); else { x.value=value; x.N = size(x.right)+size(x.left)+1; } return x; } public Value get(Key key){ return get(root,key); } private Value get(Node x, Key key) { if(x==null) return null; int cmp =key.compareTo(x.key); if(cmp<0) return="" get(x.left,key);="" else="" if(cmp="">0) return get(x.right,key); return x.value; } }
      
      
     

效率问题

二叉搜索树的查找和搜索在平均情况下时间复杂度都能达到O(logn)，而且能保证数据有序。二叉搜索树的中序遍历就是数据的顺序。我们貌似已经找到了一个最理想的算法。

但是这个效率只是在平均情况下。如果数据是逆序，或者顺序，那么这棵树就会发生一边倒的情况使复杂度直接达到O(n)，就如同快排中选择到糟糕的主元(最大或者最小)。比快排糟糕的是，快排我们能通过随机打乱数据来避免这种情况发生。但二叉搜索树则不行，数据都是客户提供，直接插入到树中的，这种情况其实经常发生。

幸运的是我们有平衡二叉树可以解决这个问题。

平衡二叉树

2-3树

为了保持树平衡性，允许节点能保存两个键值对，且能连三个儿子。这样把节点分成了两种类型。

• 2-节点 : 一个键值对，两个儿子。 (也就是标准的二叉搜索树)
• 3-节点 : 两个键值对，三个儿子。 (两个键是有序的，左小右大。左儿子小于左边的键，右儿子大于右边的键，中间的儿子在两个键之间)

实现原理

2-3树插入比较复杂。在插入的同时保持平衡性。

• 向2-节点中插入键。这种情况比较简单。直接插入即可。
• 向3-节点中插入键。比较特殊。先暂时把键插入到3-节点，此时这个节点中就有了三个键，然后再把这个节点分开。把中间的儿子简单当根，左右两边的键当儿子。若父节点还是3-节点，则继续递归进行。

性能分析

2-3树性能可以说是比较好的。不管数据怎么样，查找删除操作时间复杂度都能达到O(logn)。
但是2-3树实现比较复杂，需要掌控的情况很多，剥离节点，传递节点等操作，都需要很复杂的代码，且也会耗费不少的时间。所以我们一般不怎么用原始的2-3树，而是用2-3树的变形红黑树.

红黑树

红黑树最方便的地方除了插入和删除操作的代码略复杂以外，另外的操作都可以直接复制二叉搜索树。

红黑树是2-3树的变形，把3-节点分离开来使之成为普通的2-节点。但是怎么表现分离开的节点之间的联系呢。我们用红线把他们连起来。

巧妙地结合二叉搜索树的高效查找操作和2-3树的平衡插入操作。

每个节点都只有一根连向父节点的线。这个线的颜色称为节点的颜色。

实现

我们通过旋转来维持树的平衡。一般有两种情况需要旋转。

• 连续两个左节点的颜色为红色,向右转
• 右节点的颜色为红色，向左转
• 第三种情况是左右两边都为红色。最好处理，不需要旋转。只需要把左右两个儿子的颜色改成黑色，再把自己的颜色改成黑色。可以想象成把3个键值对3-节点剥离开。

public class BlackRedBST
     
       { private final boolean RED = true; private final boolean BLACK = false; private Node root; public void put(Key key,Value value){ root = put(root,key,value); root.color = BLACK; } private Node put(Node x, Key key, Value value) { if(x==null) return new Node(key,value,0,RED); int cmp = key.compareTo(x.key); if(cmp<0) x.left="put(x.left,key,value);" else="" if(cmp="">0) x.right = put(x.right,key,value); else if(cmp==0) x.value =value; if( isRED(x.right) && !isRED(x.left)) x=rotateLeft(x); if( isRED(x.left) && isRED(x.left.left)) x=rotateRight(x); if( isRED(x.left) && isRED(x.right)) flipColor(x); x.N = size(x.right) + size(x.left) +1; return x; } private void flipColor(Node x) { x.right.color = BLACK; x.left.color = BLACK; x.color = RED; } private Node rotateLeft(Node x) { Node r =x.right; x.right = r.left; r.left = x; r.color = x.color; x.color = RED; x.N = size(x.left)+size(x.right) +1; return r; } private Node rotateRight(Node x) { Node r =x.left; x.left = r.right; r.right = x; r.left.color = RED; r.right.color = RED; r.color =BLACK; x.N = size(x.left)+size(x.right) +1; return r; } }
      
     

性能分析

无论数据如何，插入删除时间复杂度都为O(logn)，可以说达到了理想状态，且代码简单。

性能测试

分别对四个文件进行插入搜索操作。

• tale.txt(779kb)
  顺序查找(7.143秒) 二分查找(0.46秒) 二叉搜索树(0.191秒) 红黑树(0.237秒)
• leipzig100k.txt(12670kb)
  顺序查找(无) 二分查找(13.911秒) 二叉搜索树(1.389秒) 红黑树(1.442秒)
• leipzig300k.txt(37966kb)
  顺序查找(无) 二分查找(60.222秒) 二叉搜索树(2.742秒) 红黑树(3.104秒)
• leipzig1m.txt(126607kb)
  顺序查找(无) 二分查找(无) 二叉搜索树(3.016秒) 红黑树(2.797秒)

由上面的数据分析，顺序查找实际是非常慢的。而二分查找对小型数据还是比较快，但是数据一大就不行了。

而这里的二叉搜索树和红黑树，无论什么数据效率都是极高。而且由leipzig300k.txt到leipzig1m.txt数据几乎翻了4倍，而这两种算法的效率几乎没收什么影响。

这里因为我的数据比较平均的关系，比较不出红黑树和二叉搜索树的差异。我自己构造了一组数据进行测试。完全逆序的100000个数进行插入删除。

• 红黑树(0.173秒)
• 二叉搜索树(StackOverflow)

Reference

维基百科

算法 4th